傅立叶时域期权定价法 傅立叶时域期权定价法是一种基于傅立叶变换在时间维度上应用的数值定价技术。让我为您详细解析这个方法的原理和实现步骤： 时间维度离散化基础 首先将期权存续期[ 0,T ]离散为N个时间步，步长Δt = T/N 在每个时间点t_ i = iΔt (i=0,1,...,N)上，我们需要计算期权的价值函数V(S,t_ i) 这种方法特别适合美式期权等路径依赖型衍生品，因为需要在每个时间步进行提前行权判断 价值函数的傅立叶表示 在风险中性测度下，资产价格S_ t满足随机过程dS_ t = (r-q)S_ tdt + σS_ tdW_ t 定义对数价格x_ t = lnS_ t，其条件特征函数为φ(u;τ) = E[ e^{iux_ {t+τ}}|x_ t ] 期权价值可表示为V(x,t) = e^{-rτ}F^{-1}[ F[ V(y,T)]·φ(u;τ) ]，其中F表示傅立叶变换 时间递推算法 从到期日T开始反向递推： V(x,t_ N) = max(K-e^x, 0) // 到期日支付函数 对于每个时间步t_ i，计算： V(x,t_ i) = max(Φ(x), e^{-rΔt}F^{-1}[ F[ V(y,t_ {i+1})]·φ(u;Δt) ]) 其中Φ(x)为立即行权价值 数值实现细节 使用快速傅立叶变换(FFT)加速计算 对数价格网格设置：x_ min = lnS_ min, x_ max = lnS_ max 离散点数M通常取2的整数次幂（如1024） 频率网格：u_ k = kΔu, k = -M/2,...,M/2-1 边界条件处理 当S→0时，看跌期权价值→Ke^{-rτ} 当S→∞时，看跌期权价值→0 通过合适的网格截断确保边界条件满足 计算效率优化 相比传统PDE方法，计算复杂度为O(MlogM)而非O(M²) 可并行处理多个不同行权价的期权定价 内存需求较低，主要存储各时间步的价值函数 这种方法特别适用于需要高精度时间离散的复杂期权，能够有效处理早期行权特征和路径依赖特性。