曲面的高斯-博内定理

我们先从最基础的概念出发，逐步构建对高斯-博内定理的理解。

1. 曲面的高斯曲率

• 高斯曲率是描述曲面内在弯曲程度的量，定义为两个主曲率的乘积：K = κ₁ × κ₂
• 关键特性：高斯曲率是内蕴不变量，仅依赖于曲面的第一基本形式
• 例如：平面的高斯曲率为0，球面半径为R时高斯曲率为1/R²

2. 曲面的欧拉示性数

• 这是描述曲面拓扑性质的整数，与曲面的"孔洞"数量相关
• 计算公式：χ = V - E + F，其中V、E、F分别是顶点、棱、面的数量
• 常见曲面的欧拉示性数：球面χ=2，环面χ=0，双环面χ=-2

3. 测地曲率

• 测地曲率κ₍度量曲面上曲线相对于曲面的弯曲程度
• 特别地，曲面上直线的测地曲率为0，这样的曲线称为测地线
• 测地曲率是曲线的内蕴性质，只与曲面的第一基本形式有关

4. 局部高斯-博内定理

• 对于曲面上的一个光滑区域D，其边界为分段光滑曲线∂D
• 定理表述：∬₍D₎ K dA + ∮₍∂D₎ κ₍ ds + Σθᵢ = 2π
• 其中θᵢ是边界上的外角（当边界光滑时，Σθᵢ = π）
• 这个公式将曲面的高斯曲率、边界的测地曲率和转角联系在一起

5. 整体高斯-博内定理

• 对于封闭定向曲面M，定理简化为：∬₍M₎ K dA = 2πχ(M)
• 这个惊人的公式将曲面的局部几何性质（高斯曲率）与整体拓扑性质（欧拉示性数）联系起来
• 例如：球面的总曲率为4π，环面的总曲率为0

6. 定理的深远意义

• 高斯-博内定理是微分几何的基石，连接了局部几何与整体拓扑
• 它表明：无论怎样弯曲曲面，只要不撕裂它，总高斯曲率保持不变
• 这一定理后来被推广到高维流形，成为陈-高斯-博内定理