圆的渐开线与渐伸线的微分几何关系（续五十三） 回顾基本定义 圆的渐开线是由一条紧绕圆周的细绳从圆周上逐渐展开时，绳端点的轨迹。圆的渐伸线则是该渐开线的渐屈线（曲率中心的轨迹），两者互为微分几何意义上的渐开线与渐伸线关系。 曲率半径的递推关系 设渐开线的曲率半径为 \( R_ i(s) \)，渐伸线的曲率半径为 \( R_ e(s) \)，弧长为参数 \( s \)。根据渐屈线性质，渐伸线的曲率半径满足： \[ R_ e(s) = R_ i(s) - s \cdot \frac{dR_ i}{ds}. \] 这一关系源于曲率中心轨迹的几何构造，体现了渐开线与渐伸线曲率演化的耦合性。 渐开线弧长参数的传递效应 若渐开线的弧长增量为 \( \Delta s \)，则渐伸线的曲率半径变化量为： \[ \Delta R_ e = -\frac{dR_ i}{ds} \Delta s - s \cdot \frac{d^2R_ i}{ds^2} \Delta s. \] 这说明渐伸线的曲率半径不仅受渐开线曲率半径变化率的影响，还受其二阶导数的调制。 渐开线曲率中心的运动学解释 渐开线的曲率中心沿渐伸线移动，其移动速度与渐开线的曲率变化率成正比。具体地，曲率中心的速度向量 \( \vec{v_ c} \) 满足： \[ \vec{v_ c} = \frac{dR_ i}{ds} \cdot \vec{T}_ i, \] 其中 \( \vec{T}_ i \) 是渐开线的单位切向量。这一定量关系揭示了渐开线曲率中心轨迹（即渐伸线）的生成机制。 渐伸线曲率与渐开线弧长的关联 渐伸线的曲率 \( \kappa_ e \) 可通过渐开线的几何参数表示为： \[ \kappa_ e = \frac{1}{R_ e} = \frac{1}{R_ i - s \cdot \frac{dR_ i}{ds}}. \] 当渐开线的曲率半径变化率 \( \frac{dR_ i}{ds} \) 接近零时，渐伸线曲率趋于常数，对应渐开线趋近于圆弧。 应用示例：渐开线齿轮的接触动力学 在齿轮啮合中，渐开线齿廓的曲率变化通过渐伸线传递至啮合点，影响接触应力分布。利用上述曲率半径关系，可优化齿形以降低局部磨损。