模的Schur引理 我们先从线性代数中的概念开始。在线性代数中，一个向量空间 V 上的线性变换是一个从 V 到 V 的线性映射。如果 V 是有限维的，那么线性变换可以用矩阵表示。特别地，如果存在一个线性变换 T 使得 T 在 V 上的作用仅仅是乘以某个标量 λ，那么 T 就是一个数乘变换，即 T(v) = λv 对所有 v ∈ V 成立。此时，整个空间 V 可以看作是由这个变换“均匀地”伸缩。 现在，将这个概念推广到模论中。设 R 是一个环，M 是一个 R-模。一个 R-模同态 f: M → M 称为 M 的一个自同态。所有这样的自同态构成一个集合，记作 End_ R(M)，它本身形成一个环（称为自同态环），其中加法是映射的加法，乘法是映射的复合。 Schur引理处理的是所谓的“单模”（或不可约模）。单模是指一个非零模 M，它没有非平凡的子模（即它的子模只有 {0} 和 M 本身）。例如，在向量空间的情境中，一维向量空间是单模，因为它的子空间只有零和它自己。 Schur引理分为两部分： 设 M 和 N 是环 R 上的两个单模。如果 f: M → N 是一个非零的 R-模同态，那么 f 必然是一个同构（即既是单射又是满射）。这是因为 f 的核 Ker(f) 是 M 的一个子模，而由于 M 是单模，Ker(f) 只能是 {0} 或 M。如果 Ker(f) = M，那么 f 是零映射，与假设矛盾，所以 Ker(f) = {0}，即 f 是单射。同样，f 的像 Im(f) 是 N 的一个子模，由于 N 是单模且 f 非零，Im(f) 只能是 N，所以 f 是满射。因此 f 是同构。 特别地，当 M = N 时，考虑 M 的自同态环 End_ R(M)。如果 f: M → M 是一个非零的自同态，那么由第一部分，f 是同构，因此 f 在 End_ R(M) 中是可逆的。这意味着 End_ R(M) 是一个除环（即每个非零元素都有乘法逆元）。注意，End_ R(M) 不一定是交换环，所以它一般是一个除环，而不一定是域。 总结一下，Schur引理告诉我们：单模之间的非零同态必为同构，并且单模的自同态环是一个除环。这个结果在表示论中非常基本，因为它揭示了单模的“刚性”结构——它们之间的映射非常受限，自同态环具有很好的代数性质。