分析学词条：傅里叶乘子 傅里叶乘子是调和分析和偏微分方程中的核心工具，它通过傅里叶变换将函数的频域性质与算子作用联系起来。以下从基础概念到核心定理逐步展开说明： 傅里叶变换的回顾 设函数 \( f \in L^1(\mathbb{R}^n) \)，其傅里叶变换定义为： \[ \hat{f}(\xi) = \int_ {\mathbb{R}^n} f(x) e^{-2\pi i x \cdot \xi} dx. \] 这一变换将函数从空间域（\(x\)）映射到频率域（\(\xi\)），揭示了函数的频率成分。 傅里叶乘子的定义 若存在一个函数 \(m(\xi)\)（称为乘子），使得对任意 \(f\) 在某个函数类（如 \(L^p\)）中，通过傅里叶逆变换可定义算子 \(T_ m\)： \[ T_ m f(x) = \int_ {\mathbb{R}^n} m(\xi) \hat{f}(\xi) e^{2\pi i x \cdot \xi} d\xi. \] 这里 \(m(\xi)\) 直接对频率分量 \(\hat{f}(\xi)\) 进行调制。乘子的核心问题在于研究 \(T_ m\) 的 \(L^p\) 有界性，即是否存在 \(C>0\) 使得 \(\|T_ m f\| {L^p} \leq C \|f\| {L^p}\). 经典例子：微分算子与分数阶积分 微分算子 ：若 \(m(\xi) = (2\pi i \xi)^\alpha\)（其中 \(\alpha\) 为多重指标），则 \(T_ m f = \partial^\alpha f\)，即乘子实现了频域中的微分。 热核算子 ：热方程的解算子对应乘子 \(e^{-t|\xi|^2}\)，其频域衰减性质保证了算子的正则化效果。 乘子定理的演进 赫尔曼德尔乘子定理 ：若乘子 \(m\) 满足阶数为 \(s > n/2\) 的索伯列夫空间嵌入条件（即 \(m \in H^s\)），则 \(T_ m\) 是 \(L^p\) 有界的（\(1<p <\infty\)）。该定理通过乘子的光滑性控制算子的有界性。 米赫林乘子定理 ：假设 \(m\) 满足如下阶条件：对所有多重指标 \(|\alpha| \leq \lfloor n/2 \rfloor + 1\)，有 \[ |\partial^\alpha m(\xi)| \leq C_ \alpha |\xi|^{-|\alpha|}, \quad \xi \neq 0, \] 则 \(T_ m\) 是 \(L^p\) 有界的（\(1<p <\infty\)）。此定理通过乘子的衰减性与可微性建立有界性，是研究奇异积分算子的基石。 与奇异积分算子的关联 傅里叶乘子可视为卷积算子的频域表示：若 \(T_ m f = K * f\)，则 \(K\) 的傅里叶变换恰好为 \(m(\xi)\)。当 \(m\) 不具备光滑性时（如希尔伯特变换的乘子 \(\operatorname{sgn}(\xi)\)），需通过卡尔德隆-齐格蒙理论处理核的奇异性。 应用举例：索伯列夫空间的刻画 利用乘子 \(m_ s(\xi) = (1 + |\xi|^2)^{s/2}\)，可定义分数阶索伯列夫空间 \(H^{s,p}\) 的范数： \[ \|f\| {H^{s,p}} = \|T {m_ s} f\|_ {L^p}. \] 这一构造将函数的正则性（可微性）转化为频域中乘子的增长性分析。 现代发展：非光滑乘子与拟微分算子 在变系数偏微分方程中，乘子推广为符号 \(a(x,\xi)\)，对应的拟微分算子定义为： \[ T_ a f(x) = \iint a(x,\xi) \hat{f}(\xi) e^{2\pi i x \cdot \xi} d\xi. \] 此类算子将乘子理论与微局部分析结合，用于研究波传播和奇性传播等现象。 总结而言，傅里叶乘子理论通过频域调制将函数空间的有界性、正则性问题转化为对乘子函数的分析，成为连接调和分析、偏微分方程与泛函分析的重要桥梁。