组合数学中的组合对称函数

字数 1816 2025-11-12 15:06:31

组合数学中的组合对称函数

我们先从对称函数的基本概念开始。对称函数是一类在变量置换下保持不变的多元多项式。更准确地说，设 \(x_1, x_2, x_3, \ldots\) 为一组可数无穷多个变量，一个对称函数 \(f(x_1, x_2, \ldots)\) 是一个形式幂级数（即可以包含无穷多项，但我们只关注其形式），并且对于任意正整数 \(n\)，当我们将函数限制在前 \(n\) 个变量 \(x_1, \ldots, x_n\) 上时，它是对称多项式：即对 \(\{1,2,\ldots,n\}\) 的任意置换 \(\sigma\)，都有 \(f(x_1, \ldots, x_n) = f(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(n)})\)。对称函数构成了一个环，记作 \(\Lambda\)。

接下来，我们介绍对称函数环的一些重要基。最自然的基是单项式对称函数。给定一个（整数）分拆 \(\lambda = (\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_k)\)（其中 \(\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_k > 0\)），对应的单项式对称函数 \(m_\lambda\) 定义为所有形如 \(x_{i_1}^{\lambda_1} x_{i_2}^{\lambda_2} \cdots x_{i_k}^{\lambda_k}\) 的单项式之和，其中 \(i_1, i_2, \ldots, i_k\) 是互不相同的下标。例如，\(m_{(2,1)} = \sum_{i \neq j} x_i^2 x_j\)。所有 \(m_\lambda\)（\(\lambda\) 取遍所有分拆）构成了 \(\Lambda\) 的一组基。

另一种非常重要的基是舒尔函数（Schur functions）。舒尔函数在表示论、代数几何等多个数学分支中都有重要应用。它们可以通过半标准杨表来定义。给定一个分拆 \(\lambda\)，一个形状为 \(\lambda\) 的半标准杨表是将分拆 \(\lambda\) 的杨图用正整数填充，使得每行弱递增（即非严格递增）、每列严格递增。那么，舒尔函数 \(s_\lambda\) 定义为：

\[s_\lambda = \sum_{T} x^T \]

其中求和取遍所有形状为 \(\lambda\) 的半标准杨表 \(T\)，并且 \(x^T = \prod_{i} x_i^{\text{(i在T中出现的次数)}}\)。例如，对于分拆 \((2,1)\)，我们有：

\[s_{(2,1)} = x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 + 2x_1 x_2 x_3 + \cdots \]

（这里系数2来自于杨表 \(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 \end{matrix}\) 和 \(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 \end{matrix}\) 等，具体取决于变量集）。舒尔函数也构成了 \(\Lambda\) 的一组基，并且它们之间有许多美妙的性质，例如皮埃尔韦规则（Pier rule）描述了舒尔函数的乘积。

除了单项式对称函数和舒尔函数，还有其他重要的基，例如完全齐次对称函数 \(h_\lambda\)、幂和对称函数 \(p_\lambda\) 以及初等对称函数 \(e_\lambda\)。这些基之间通过变换矩阵相联系，这些矩阵通常具有组合解释。例如，从舒尔函数基到幂和对称函数基的变换矩阵由特征标表给出，这联系了对称群表示论。

组合对称函数的研究不仅限于这些基的定义和性质，还包括它们之间的各种恒等式、对称函数的 specialization（求值）、以及对称函数在计数组合学中的应用（例如，通过舒尔函数的组合定义可以计算杨表个数、平面划分等）。此外，对称函数还与代数几何（如格拉斯曼流形的上同调环）、表示论（如对称群和一般线性群的表示）以及数学物理（如可积系统）等领域紧密相连。

组合数学中的组合对称函数我们先从对称函数的基本概念开始。对称函数是一类在变量置换下保持不变的多元多项式。更准确地说，设 \( x_ 1, x_ 2, x_ 3, \ldots \) 为一组可数无穷多个变量，一个对称函数 \( f(x_ 1, x_ 2, \ldots) \) 是一个形式幂级数（即可以包含无穷多项，但我们只关注其形式），并且对于任意正整数 \( n \)，当我们将函数限制在前 \( n \) 个变量 \( x_ 1, \ldots, x_ n \) 上时，它是对称多项式：即对 \( \{1,2,\ldots,n\} \) 的任意置换 \( \sigma \)，都有 \( f(x_ 1, \ldots, x_ n) = f(x_ {\sigma(1)}, \ldots, x_ {\sigma(n)}) \)。对称函数构成了一个环，记作 \( \Lambda \)。接下来，我们介绍对称函数环的一些重要基。最自然的基是单项式对称函数。给定一个（整数）分拆 \( \lambda = (\lambda_ 1, \lambda_ 2, \ldots, \lambda_ k) \)（其中 \( \lambda_ 1 \geq \lambda_ 2 \geq \cdots \geq \lambda_ k > 0 \)），对应的单项式对称函数 \( m_ \lambda \) 定义为所有形如 \( x_ {i_ 1}^{\lambda_ 1} x_ {i_ 2}^{\lambda_ 2} \cdots x_ {i_ k}^{\lambda_ k} \) 的单项式之和，其中 \( i_ 1, i_ 2, \ldots, i_ k \) 是互不相同的下标。例如，\( m_ {(2,1)} = \sum_ {i \neq j} x_ i^2 x_ j \)。所有 \( m_ \lambda \)（\( \lambda \) 取遍所有分拆）构成了 \( \Lambda \) 的一组基。另一种非常重要的基是舒尔函数（Schur functions）。舒尔函数在表示论、代数几何等多个数学分支中都有重要应用。它们可以通过半标准杨表来定义。给定一个分拆 \( \lambda \)，一个形状为 \( \lambda \) 的半标准杨表是将分拆 \( \lambda \) 的杨图用正整数填充，使得每行弱递增（即非严格递增）、每列严格递增。那么，舒尔函数 \( s_ \lambda \) 定义为： \[ s_ \lambda = \sum_ {T} x^T \] 其中求和取遍所有形状为 \( \lambda \) 的半标准杨表 \( T \)，并且 \( x^T = \prod_ {i} x_ i^{\text{(i在T中出现的次数)}} \)。例如，对于分拆 \( (2,1) \)，我们有： \[ s_ {(2,1)} = x_ 1^2 x_ 2 + x_ 1 x_ 2^2 + 2x_ 1 x_ 2 x_ 3 + \cdots \] （这里系数2来自于杨表 \(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 \end{matrix}\) 和 \(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 \end{matrix}\) 等，具体取决于变量集）。舒尔函数也构成了 \( \Lambda \) 的一组基，并且它们之间有许多美妙的性质，例如皮埃尔韦规则（Pier rule）描述了舒尔函数的乘积。除了单项式对称函数和舒尔函数，还有其他重要的基，例如完全齐次对称函数 \( h_ \lambda \)、幂和对称函数 \( p_ \lambda \) 以及初等对称函数 \( e_ \lambda \)。这些基之间通过变换矩阵相联系，这些矩阵通常具有组合解释。例如，从舒尔函数基到幂和对称函数基的变换矩阵由特征标表给出，这联系了对称群表示论。组合对称函数的研究不仅限于这些基的定义和性质，还包括它们之间的各种恒等式、对称函数的 specialization（求值）、以及对称函数在计数组合学中的应用（例如，通过舒尔函数的组合定义可以计算杨表个数、平面划分等）。此外，对称函数还与代数几何（如格拉斯曼流形的上同调环）、表示论（如对称群和一般线性群的表示）以及数学物理（如可积系统）等领域紧密相连。