曲面的切平面与法向量
字数 2772 2025-11-12 15:01:17

曲面的切平面与法向量

我将为您详细讲解曲面的切平面与法向量这一概念。这是一个基础且重要的微分几何主题，它能帮助我们理解曲面在给定点附近的局部线性结构。

第一步：曲面的参数化表示

首先，我们需要一种数学方式来描述一个曲面。最常见的方法是使用参数化表示。想象一下，一个曲面就像一张被拉伸的橡皮膜，我们可以用两个变量（通常记为 \(u\) 和 \(v\)）来标记膜上的每一个点。

  • 一个参数化曲面由向量函数定义：

\[ \mathbf{r}(u, v) = \langle x(u, v), y(u, v), z(u, v) \rangle \]

这里，\((u, v)\) 是定义在某个平面区域（参数域）上的坐标，而函数 \(x, y, z\) 将每一对 \((u, v)\) 映射到三维空间中的一个点 \((x, y, z)\)。例如，一个球面、一个环面都可以用这种方式表示。

第二步：坐标曲线与切向量

在参数化曲面上任意固定一点 \(P_0 = \mathbf{r}(u_0, v_0)\)，我们可以考虑两种特殊的曲线：

  1. \(u\)-曲线：保持 \(v = v_0\) 不变，只让 \(u\) 变化。这条曲线由 \(\mathbf{r}(u, v_0)\) 描述。
  2. \(v\)-曲线：保持 \(u = u_0\) 不变，只让 \(v\) 变化。这条曲线由 \(\mathbf{r}(u_0, v)\) 描述。

这两条曲线在点 \(P_0\) 相交。

  • 现在，我们计算这两条曲线在 \(P_0\) 点处的切向量（方向向量）：
    • \(u\)-曲线的切向量是函数 \(\mathbf{r}(u, v_0)\) 对 \(u\) 的偏导数，记为：

\[ \mathbf{r}_u(u_0, v_0) = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\bigg|_{(u_0, v_0)} \]

  • \(v\)-曲线的切向量是函数 \(\mathbf{r}(u_0, v)\) 对 \(v\) 的偏导数，记为：

\[ \mathbf{r}_v(u_0, v_0) = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\bigg|_{(u_0, v_0)} \]

  • 向量 \(\mathbf{r}_u\) 和 \(\mathbf{r}_v\) 被称为曲面在点 \(P_0\) 的切向量。它们分别指向 \(u\) 和 \(v\) 坐标增加最快的方向。

第三步：切平面的定义

  • 假设在点 \(P_0\)，两个切向量 \(\mathbf{r}_u\) 和 \(\mathbf{r}_v\) 是线性无关的（即它们不平行，且都不为零向量）。这意味着它们在点 \(P_0\) “张开”了一个平面。

  • 这个由向量 \(\mathbf{r}_u\) 和 \(\mathbf{r}_v\) 张成的平面，就称为曲面在点 \(P_0\) 的切平面。

  • 几何意义：切平面是过点 \(P_0\) 且与曲面在该点“最贴合”的平面。在点 \(P_0\) 的无穷小邻域内，曲面和切平面几乎是无法区分的。所有经过点 \(P_0\) 且在曲面上的光滑曲线，它们在该点的切线都位于这个切平面内。

第四步：切平面的方程

如何用数学公式描述这个切平面？

  • 设 \(P(x, y, z)\) 是切平面上的任意一点。那么向量 \(\overrightarrow{P_0P} = \langle x - x_0, y - y_0, z - z_0 \rangle\) 必须位于切平面内。
  • 由于切平面由 \(\mathbf{r}_u\) 和 \(\mathbf{r}_v\) 张成，这意味着 \(\overrightarrow{P_0P}\) 必须与这两个切向量都垂直于同一个方向。这个垂直的方向引出了下一个概念。

第五步：法向量的定义与计算

  • 与切平面垂直的向量，称为曲面在该点的法向量。
  • 由于切平面由 \(\mathbf{r}_u\) 和 \(\mathbf{r}_v\) 张成，一个很自然的法向量就是这两个向量的叉乘：

\[ \mathbf{N} = \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v \]

  • 在点 \(P_0\)，我们计算 \(\mathbf{N}(u_0, v_0) = \mathbf{r}_u(u_0, v_0) \times \mathbf{r}_v(u_0, v_0)\)。这个向量 \(\mathbf{N}\) 同时垂直于 \(\mathbf{r}_u\) 和 \(\mathbf{r}_v\)，因此它垂直于整个切平面。通常我们会使用它的单位法向量 \(\mathbf{n} = \frac{\mathbf{N}}{\|\mathbf{N}\|}\)。

第六步：切平面方程的最终形式

现在我们可以写出切平面的方程了。由于法向量 \(\mathbf{N} = \langle a, b, c \rangle\) 与切平面垂直，而点 \(P_0(x_0, y_0, z_0)\) 在平面上，根据点法式，切平面的方程是：

\[\mathbf{N} \cdot \langle x - x_0, y - y_0, z - z_0 \rangle = 0 \]

或者更具体地写为：

\[a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 \]

其中 \(\mathbf{N} = \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\) 在 \((u_0, v_0)\) 处的值就是 \(\langle a, b, c \rangle\)。

总结

  1. 我们从曲面的参数化表示开始。
  2. 通过固定一个参数、变化另一个参数，得到了坐标曲线及其切向量 \(\mathbf{r}_u\) 和 \(\mathbf{r}_v\)。
  3. 由这两个线性无关的切向量定义了切平面，即与曲面局部最贴合的平面。
  4. 通过计算切向量的叉乘，得到了垂直于切平面的法向量 \(\mathbf{N}\)。
  5. 最后，利用点法式写出了切平面的方程。

理解切平面和法向量是研究曲面更高阶性质（如曲率、测地线等）的基础。

曲面的切平面与法向量 我将为您详细讲解曲面的切平面与法向量这一概念。这是一个基础且重要的微分几何主题，它能帮助我们理解曲面在给定点附近的局部线性结构。 第一步：曲面的参数化表示 首先，我们需要一种数学方式来描述一个曲面。最常见的方法是使用参数化表示。想象一下，一个曲面就像一张被拉伸的橡皮膜，我们可以用两个变量（通常记为 \( u \) 和 \( v \)）来标记膜上的每一个点。 一个参数化曲面由向量函数定义： \[ \mathbf{r}(u, v) = \langle x(u, v), y(u, v), z(u, v) \rangle \] 这里，\( (u, v) \) 是定义在某个平面区域（参数域）上的坐标，而函数 \( x, y, z \) 将每一对 \( (u, v) \) 映射到三维空间中的一个点 \( (x, y, z) \)。例如，一个球面、一个环面都可以用这种方式表示。 第二步：坐标曲线与切向量 在参数化曲面上任意固定一点 \( P_ 0 = \mathbf{r}(u_ 0, v_ 0) \)，我们可以考虑两种特殊的曲线： \( u \)-曲线 ：保持 \( v = v_ 0 \) 不变，只让 \( u \) 变化。这条曲线由 \( \mathbf{r}(u, v_ 0) \) 描述。 \( v \)-曲线 ：保持 \( u = u_ 0 \) 不变，只让 \( v \) 变化。这条曲线由 \( \mathbf{r}(u_ 0, v) \) 描述。 这两条曲线在点 \( P_ 0 \) 相交。 现在，我们计算这两条曲线在 \( P_ 0 \) 点处的切向量（方向向量）： \( u \)-曲线的切向量是函数 \( \mathbf{r}(u, v_ 0) \) 对 \( u \) 的偏导数，记为： \[ \mathbf{r} u(u_ 0, v_ 0) = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\bigg| {(u_ 0, v_ 0)} \] \( v \)-曲线的切向量是函数 \( \mathbf{r}(u_ 0, v) \) 对 \( v \) 的偏导数，记为： \[ \mathbf{r} v(u_ 0, v_ 0) = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\bigg| {(u_ 0, v_ 0)} \] 向量 \( \mathbf{r}_ u \) 和 \( \mathbf{r}_ v \) 被称为曲面在点 \( P_ 0 \) 的 切向量 。它们分别指向 \( u \) 和 \( v \) 坐标增加最快的方向。 第三步：切平面的定义 假设在点 \( P_ 0 \)，两个切向量 \( \mathbf{r}_ u \) 和 \( \mathbf{r}_ v \) 是 线性无关 的（即它们不平行，且都不为零向量）。这意味着它们在点 \( P_ 0 \) “张开”了一个平面。 这个由向量 \( \mathbf{r}_ u \) 和 \( \mathbf{r}_ v \) 张成的平面，就称为曲面在点 \( P_ 0 \) 的 切平面 。 几何意义 ：切平面是过点 \( P_ 0 \) 且与曲面在该点“最贴合”的平面。在点 \( P_ 0 \) 的无穷小邻域内，曲面和切平面几乎是无法区分的。所有经过点 \( P_ 0 \) 且在曲面上的光滑曲线，它们在该点的切线都位于这个切平面内。 第四步：切平面的方程 如何用数学公式描述这个切平面？ 设 \( P(x, y, z) \) 是切平面上的任意一点。那么向量 \( \overrightarrow{P_ 0P} = \langle x - x_ 0, y - y_ 0, z - z_ 0 \rangle \) 必须位于切平面内。 由于切平面由 \( \mathbf{r}_ u \) 和 \( \mathbf{r}_ v \) 张成，这意味着 \( \overrightarrow{P_ 0P} \) 必须与这两个切向量都垂直于同一个方向。这个垂直的方向引出了下一个概念。 第五步：法向量的定义与计算 与切平面垂直的向量，称为曲面在该点的 法向量 。 由于切平面由 \( \mathbf{r}_ u \) 和 \( \mathbf{r}_ v \) 张成，一个很自然的法向量就是这两个向量的 叉乘 ： \[ \mathbf{N} = \mathbf{r}_ u \times \mathbf{r}_ v \] 在点 \( P_ 0 \)，我们计算 \( \mathbf{N}(u_ 0, v_ 0) = \mathbf{r}_ u(u_ 0, v_ 0) \times \mathbf{r}_ v(u_ 0, v_ 0) \)。这个向量 \( \mathbf{N} \) 同时垂直于 \( \mathbf{r}_ u \) 和 \( \mathbf{r}_ v \)，因此它垂直于整个切平面。通常我们会使用它的 单位法向量 \( \mathbf{n} = \frac{\mathbf{N}}{\|\mathbf{N}\|} \)。 第六步：切平面方程的最终形式 现在我们可以写出切平面的方程了。由于法向量 \( \mathbf{N} = \langle a, b, c \rangle \) 与切平面垂直，而点 \( P_ 0(x_ 0, y_ 0, z_ 0) \) 在平面上，根据点法式，切平面的方程是： \[ \mathbf{N} \cdot \langle x - x_ 0, y - y_ 0, z - z_ 0 \rangle = 0 \] 或者更具体地写为： \[ a(x - x_ 0) + b(y - y_ 0) + c(z - z_ 0) = 0 \] 其中 \( \mathbf{N} = \mathbf{r}_ u \times \mathbf{r}_ v \) 在 \( (u_ 0, v_ 0) \) 处的值就是 \( \langle a, b, c \rangle \)。 总结 我们从曲面的参数化表示开始。 通过固定一个参数、变化另一个参数，得到了坐标曲线及其切向量 \( \mathbf{r}_ u \) 和 \( \mathbf{r}_ v \)。 由这两个线性无关的切向量定义了 切平面 ，即与曲面局部最贴合的平面。 通过计算切向量的叉乘，得到了垂直于切平面的 法向量 \( \mathbf{N} \)。 最后，利用点法式写出了 切平面的方程 。 理解切平面和法向量是研究曲面更高阶性质（如曲率、测地线等）的基础。