模的Fitting理想 我们先从模的基本概念开始。模是环上的线性空间概念的推广。设R是环，M是左R-模。这意味着M上有加法运算，并且R中的元素可以作用在M上，满足分配律等条件。 现在考虑有限生成模。如果M可以由有限个元素m₁,...,mₙ生成，那么存在满同态f: Rⁿ → M，其中Rⁿ是自由R模。这个同态的核K = ker(f)是Rⁿ的子模，称为M的关系子模。 对于这样的满同态f: Rⁿ → M，我们可以考虑它的提升。具体来说，我们取自由分解Rᵐ → Rⁿ → M → 0，其中第一个映射的像正好是K。这个复合映射Rᵐ → Rⁿ可以表示为一个n×m矩阵A，称为M的表示矩阵。 Fitting理想的定义就基于这个表示矩阵。对于整数k ≥ 0，M的第k个Fitting理想Fittₖ(M)定义为：取表示矩阵A的所有n-k阶子式的理想（如果n-k ≤ min(n,m)），否则当n-k > n时定义为R，当n-k ≤ 0时定义为0理想）。 关键性质是Fitting理想与表示的选择无关。无论我们选择什么样的有限表示，得到的Fitting理想都是相同的。这意味着Fitting理想是模M本身的内在不变量，而不依赖于具体的表示。 Fitting理想具有很好的函子性质。对于模同态，Fitting理想以可预测的方式变化。特别地，如果M'是M的子模，那么Fittₖ(M')包含在Fittₖ(M)中。 在应用方面，Fitting理想可以检测模的性质。例如，Fitt₀(M) = 0当且仅当M是零模。更一般地，Fitting理想的消去性质可以告诉我们模在局部化后的行为。 Fitting理想在交换代数中有重要应用，特别是在研究有限生成模的结构时。它们提供了比Annihilator更精细的不变量，能够捕捉模的更多信息。