分析学词条：里斯引理 让我从线性泛函的基本概念开始，逐步深入讲解这个泛函分析中的基础而重要的工具。 1. 线性泛函与连续线性泛函 在线性代数中，我们学过线性泛函是从向量空间到其标量域的线性映射。在泛函分析中，我们考虑的是赋范空间（如巴拿赫空间）上的连续线性泛函。一个线性泛函f: X→ℝ（或ℂ）是连续的，当且仅当存在常数M>0，使得对所有x∈X，有|f(x)| ≤ M‖x‖。 2. 线性泛函的范数 对于赋范空间X上的连续线性泛函f，我们定义其范数为： ‖f‖ = sup{|f(x)| : x∈X, ‖x‖≤1} 这个范数衡量了泛函的"最大作用效果"。如果f在某个闭子空间Y⊂X上定义，我们可以类似定义‖f‖_ Y。 3. 线性泛函的延拓问题 哈恩-巴拿赫定理告诉我们，定义在子空间上的连续线性泛函可以保范地延拓到整个空间。但这里有个实际问题：如何具体构造这样的延拓？里斯引理就是为了解决这个问题而提出的构造性工具。 4. 里斯引理的精确表述 设X是赋范空间，Y是X的闭真子空间。对于任意向量z∈X但z∉Y，定义： d = dist(z, Y) = inf{‖z-y‖ : y∈Y} > 0 那么存在连续线性泛函f: X→ℝ（或ℂ），满足： (1) f(y) = 0 对所有y∈Y (2) f(z) = d (3) ‖f‖ = 1 5. 几何解释 从几何角度看，里斯引理构造了一个"分离泛函"。子空间Y和向量z之间的距离正好是d，而f是一个在Y上为零、在z上取最大值d的线性泛函，且其范数为1。这可以理解为用超平面f⁻¹(0)来分离Y和z。 6. 构造证明的关键步骤 里斯引理的证明是构造性的： 考虑由Y和z张成的子空间Z = {y+αz : y∈Y, α∈标量} 在Z上定义泛函g(y+αz) = αd 验证g在Z上是线性的，且‖g‖_ Z = 1 用哈恩-巴拿赫定理将g延拓到整个X，得到f 7. 在凸集分离定理中的应用 里斯引理是证明凸集分离定理的基础工具。如果A、B是赋范空间中的两个不相交凸集，且其中一个是开集，那么存在连续线性泛函f和非零实数c，使得f(a) < c ≤ f(b)对所有a∈A, b∈B成立。这个结果在优化理论和经济学中有重要应用。 8. 在算子理论中的推广 里斯引理可以推广到更一般的情形：如果Y是闭子空间，z∉Y，那么存在连续线性泛函f满足f(Y)=0，f(z)=dist(z,Y)，且‖f‖可以控制在1附近。这个推广在证明某些存在性定理时非常有用。 9. 与对偶空间的关系 里斯引理揭示了赋范空间与其对偶空间的深刻联系。它保证了足够多的连续线性泛函存在，使得我们可以用对偶空间来研究原空间的性质。特别地，它保证了任何非零赋范空间都有非零的连续线性泛函。 里斯引理虽然形式简单，但它是泛函分析中许多深刻结果的基石，为研究赋范空间的几何结构提供了基本工具。