随机变量的变换的Edgeworth展开

我们先从基础概念开始。Edgeworth展开是一种用于逼近概率分布函数的渐近展开方法，它通过修正中心极限定理中的正态近似，以提高逼近的精度。

1. 中心极限定理的回顾
   中心极限定理指出，对于独立同分布的随机变量序列，其标准化和的分布在样本量趋于无穷时收敛于标准正态分布。然而，在有限样本情况下，这种正态近似可能存在误差，特别是当分布不对称或具有厚尾时。

2. 累积生成函数与特征函数
   为了理解Edgeworth展开，需要掌握累积生成函数的概念。累积生成函数是矩生成函数的对数，其泰勒展开系数称为累积量。特征函数是概率分布的傅里叶变换，它与累积生成函数有密切关系。

3. Edgeworth展开的形式
   Edgeworth展开通过累积量来修正正态分布。具体来说，它将对数特征函数展开为幂级数，然后通过傅里叶逆变换得到分布函数的逼近表达式。展开式中包含正态分布函数及其导数，系数由累积量决定。

4. 展开项的推导
   以标准化样本均值为例，其累积生成函数可展开为幂级数，其中包含三阶累积量（偏度）和四阶累积量（峰度）等项。通过特征函数的逆变换，可以得到分布函数的Edgeworth展开式，其中各项对应着对正态分布的修正。

5. 应用与注意事项
   Edgeworth展开在统计推断中用于提高近似精度，例如在构造置信区间或假设检验时。需要注意的是，展开式在尾部可能不准确，且展开项数增加时可能出现振荡现象，因此在实际应用中需要谨慎选择展开的阶数。

通过以上步骤，我们系统地介绍了Edgeworth展开的基本原理、推导过程和应用要点。这种展开方法为改进正态近似提供了有力的工具，特别是在样本量有限且分布特征明显偏离正态时显得尤为重要。