曲面的主方向与曲率线

1. 曲面的局部几何与切平面

   • 在曲面 \(S\) 上任意一点 \(P\)，存在一个切平面 \(T_P S\)，由该点的切向量张成。
   • 曲面的第一基本形式（度量）定义了切向量的内积，而第二基本形式描述了曲面在 \(P\) 点附近的弯曲程度。

2. 法曲率与主曲率

   • 对切平面内的任一单位切向量 \(\mathbf{v}\)，曲面沿 \(\mathbf{v}\) 方向的法曲率 \(\kappa_n\) 由第二基本形式与第一基本形式的比值给出：

\[ \kappa_n = \frac{\mathrm{II}(\mathbf{v}, \mathbf{v})}{\mathrm{I}(\mathbf{v}, \mathbf{v})}. \]

• 在 \(P\) 点，法曲率随方向变化，存在两个正交的切方向 \(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\)，使得法曲率取极值 \(\kappa_1\) 和 \(\kappa_2\)，称为主曲率。

3. 主方向的定义与性质
   • 主方向是切平面中使法曲率取极值的方向，对应的单位切向量满足：

\[ \mathrm{II}(\mathbf{e}_i, \mathbf{w}) = \kappa_i \, \mathrm{I}(\mathbf{e}_i, \mathbf{w}), \quad \forall \mathbf{w} \in T_P S. \]

• 主方向总是相互垂直（除非该点为脐点，即所有方向为主方向）。

4. 曲率线的引入

   • 若曲面上一条曲线在每一点的切方向均为该点的主方向，则称其为曲率线。
   • 曲率线构成曲面上的两族正交曲线网，描述了主方向在曲面上的分布。

5. 曲率线的微分方程

   • 设曲面参数化为 \(\mathbf{r}(u,v)\)，曲率线的微分方程可通过第二基本形式与第一基本形式的系数表示：

\[ (EM - FL) du^2 + (EN - GL) dudv + (FN - GM) dv^2 = 0, \]

其中 \(E,F,G\) 和 \(L,M,N\) 分别为第一、第二基本形式的系数。

6. 几何与物理意义

   • 曲率线是曲面上的“自然弯曲方向”，沿曲率线方向的法截线曲率恰好为主曲率。
   • 在应用中，曲率线对应材料力学中的主应力方向或膜结构的最优切割方向。

7. 示例：旋转曲面

   • 对旋转曲面，经线和纬线是曲率线：经线方向的主曲率为子午线曲率，纬线方向的主曲率为平行圆曲率。
   • 此时主曲率计算简化为：

\[ \kappa_1 = \frac{-z''}{(1+z'^2)^{3/2}}, \quad \kappa_2 = \frac{-1}{r\sqrt{1+z'^2}}, \]

其中 \(z(r)\) 为母线方程。

通过以上步骤，曲率线可视为曲面弯曲的“特征方向”，其理论为微分几何研究曲面局部结构的核心工具之一。