马尔可夫链的漂移与 Foster-Lyapunov 方法 基础概念回顾与问题背景 马尔可夫链的长期性质（如常返性、正常返性、平稳分布存在性）是概率论的核心问题。对于不可约的有限状态链，平稳分布必然存在；但对于 无限状态空间 的链（如随机游走、排队模型），情况更为复杂。此时需要一种强有力的工具—— 漂移条件（Drift Conditions） ，结合 Foster-Lyapunov 方法 ，通过分析链在某个势函数（Lyapunov 函数）上的“漂移”行为，来判定其稳定性。 Lyapunov 函数与漂移算子 设 \(\{X_ n\}_ {n \geq 0}\) 是状态空间 \(S\) 上的马尔可夫链，\(\mathcal{L}: S \to [ 0, \infty)\) 是一个 Lyapunov 函数 （又称能量函数），通常满足 \(\mathcal{L}(x) \to \infty\) 当 \(\|x\| \to \infty\)。 定义 漂移算子 \(\Delta \mathcal{L}(x) := \mathbb{E}[ \mathcal{L}(X_ {n+1}) - \mathcal{L}(X_ n) \mid X_ n = x ]\)，表示从状态 \(x\) 出发一步转移后期望的能量变化。 直观意义：若 \(\Delta \mathcal{L}(x)\) 在大部分区域为负，说明链倾向于向“低能量”区域移动，暗示稳定性。 Foster-Lyapunov 定理（正常返性判据） 存在常数 \(\epsilon > 0\)、有限集 \(C \subset S\)，使得对所有 \(x \in S\)： \[ \Delta \mathcal{L}(x) \leq -\epsilon + b \cdot \mathbb{1}_ C(x), \] 其中 \(b > 0\)，\(\mathbb{1}_ C\) 是集合 \(C\) 的示性函数。 解释 ： 在有限集 \(C\) 外，漂移严格为负（\(\leq -\epsilon\)），推动链返回“中心区域”； 在 \(C\) 内，漂移可能为正，但受 \(b\) 控制。 结论 ：该条件保证链是正常返的，且存在唯一平稳分布。 几何遍历性的漂移条件 若存在常数 \(\gamma \in (0,1)\)、有限集 \(C\)，使得： \[ \Delta \mathcal{L}(x) \leq -\gamma \mathcal{L}(x) + b \cdot \mathbb{1}_ C(x), \] 则链是 几何遍历 的（收敛到平稳分布的速度以几何级数衰减）。 意义 ：漂移与当前能量 \(\mathcal{L}(x)\) 成正比，强化了收敛性。 应用示例：带漂移的随机游走 考虑 \(S = \mathbb{Z}\)，\(X_ {n+1} = X_ n + \xi_ n\)，其中 \(\{\xi_ n\}\) 是均值为 \(\mu < 0\) 的独立同分布增量。取 \(\mathcal{L}(x) = |x|\)，则： \[ \Delta \mathcal{L}(x) = \mathbb{E}[ |x + \xi| - |x| ] \approx \mu \quad (\text{当 } |x| \text{ 较大时}). \] 由于 \(\mu < 0\)，可选取有限区间 \(C = [ -M, M ]\)，使得在 \(C\) 外有 \(\Delta \mathcal{L}(x) \leq -\epsilon\)，满足 Foster-Lyapunov 条件，链是正常返的。 Foster-Lyapunov 方法的推广 多步漂移条件 ：若单步漂移不满足负性，可检验 \(k\)-步漂移 \(\Delta_ k \mathcal{L}(x) = \mathbb{E}[ \mathcal{L}(X_ {n+k}) - \mathcal{L}(X_ n) \mid X_ n = x ]\)。 随机稳定性 ：方法可扩展至连续时间马尔可夫过程、扩散过程等。 耦合与漂移结合 ：与耦合方法联用，可精确估计收敛速率。