复变函数的全纯域与全纯凸性 全纯域与全纯凸性是复变函数论中描述区域几何性质与解析函数整体行为的重要概念。让我们从基础定义逐步展开： 全纯域的定义 若区域 \( D \subset \mathbb{C} \) 满足以下性质：对任意边界点 \( p \in \partial D \)，存在函数 \( f \) 在 \( D \) 内全纯，但在 \( p \) 的任意邻域内无法解析延拓到 \( D \) 之外，则称 \( D \) 为全纯域。通俗地说，全纯域是"最大"的解析区域，其边界是解析延拓的自然障碍。 全纯凸性的引入 全纯凸性是全纯域的等价刻画。定义区域 \( D \) 的全纯凸包为： \[ \hat{K} D = \{ z \in D \mid |f(z)| \leq \sup {w \in K} |f(w)|,\ \forall f \in \mathcal{O}(D) \} \] 其中 \( K \subset D \) 是紧集，\( \mathcal{O}(D) \) 表示 \( D \) 上全体全纯函数。若对任意紧集 \( K \)，其全纯凸包 \( \hat{K}_ D \) 仍是 \( D \) 的紧集，则称 \( D \) 为全纯凸域。 几何直观解释 全纯凸性可类比于欧氏空间中的凸性：在凸集中，任意两点连线落在集内；在全纯凸域中，则要求"全纯函数意义上的凸性"，即全纯函数不能将边界点"拉回"区域内部。非全纯凸域的例子是多圆柱的哈托格斯域，其全纯凸包会超出区域本身。 全纯域的等价刻画（Cartan-Thullen定理） 以下条件等价： (1) \( D \) 是全纯域 (2) \( D \) 是全纯凸域 (3) \( D \) 是全纯完备域（存在全纯函数使其无法延拓到更大区域） 该定理建立了区域几何与函数论性质的深刻联系。 典型例子分析 单位圆盘 \( \mathbb{D} \) 是全纯凸域：任意紧集的全纯凸包仍含于 \( \mathbb{D} \) 环域 \( \{ 1 < |z| < 2 \} \) 不是全纯凸域：存在紧集使其全纯凸包触及边界 多复变情形更复杂：存在非全纯凸的域（如Reinhardt域的特殊情形） 与全纯自同构群的关系 全纯凸域的边界具有某种"刚性"，这限制了其全纯自同构群的结构。例如，有界全纯凸域的自同构群必是李群。 在复几何中的应用 全纯凸性是Stein流形（复几何中的一类重要流形）的核心特征。Stein流形可视为全纯域的高维推广，其定义要求流形具有足够多的全纯函数分离点，且是全纯凸的。 通过以上步骤，我们建立了从全纯函数延拓障碍到几何凸性的完整理解框架。全纯凸性不仅刻画了区域的最大解析性，还通过Cartan-Thullen定理将函数论、几何与拓扑紧密联系，为多复变函数论的发展奠定了基础。