格林函数法在泊松方程中的应用

字数 2321 2025-11-12 12:35:37

格林函数法在泊松方程中的应用

我们先从泊松方程本身开始。泊松方程的形式是：

\[\nabla^2 u(\mathbf{r}) = f(\mathbf{r}), \]

其中 \(u\) 是未知函数，\(f\) 是已知源项，\(\nabla^2\) 是拉普拉斯算符。这是一个非齐次偏微分方程，在静电学、引力场、热传导稳态问题等中广泛出现。

第一步：引入格林函数的概念

为了求解泊松方程，我们引入格林函数 \(G(\mathbf{r}, \mathbf{r}')\)，它定义为位于点 \(\mathbf{r}'\) 的单位点源在点 \(\mathbf{r}\) 产生的场，满足：

\[\nabla^2 G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}'), \]

其中 \(\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')\) 是狄拉克δ函数。格林函数体现了系统对点源的响应。

第二步：推导泊松方程的积分形式解

利用δ函数的性质和格林第二恒等式，可以推导出泊松方程的解为：

\[u(\mathbf{r}) = \int G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') f(\mathbf{r}') d\mathbf{r}' + \text{边界项}. \]

具体来说，对于无界空间（自由空间格林函数），边界项为零；对于有界区域，需要加上由边界条件决定的表面积分项。

第三步：自由空间的格林函数

在三维无界空间中，泊松方程的格林函数为：

\[G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = -\frac{1}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}. \]

验证：计算 \(\nabla^2 (1/|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|) = -4\pi \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')\)，因此满足定义方程。

于是泊松方程在无界空间的解为：

\[u(\mathbf{r}) = \int \frac{f(\mathbf{r}')}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} d\mathbf{r}'. \]

这正是静电学中已知电荷分布求电势的公式。

第四步：有界区域中的格林函数法

对于有界区域 \(\Omega\)，我们需要构造满足齐次边界条件的格林函数。例如：

狄利克雷边界条件：\(u|_{\partial\Omega} = g\)，要求格林函数满足 \(G_D(\mathbf{r}, \mathbf{r}')|_{\mathbf{r} \in \partial\Omega} = 0\)。
诺伊曼边界条件：\(\partial u/\partial n|_{\partial\Omega} = h\)，要求格林函数满足 \(\partial G_N/\partial n|_{\mathbf{r} \in \partial\Omega} = \text{常数}\)。

此时解为：

\[u(\mathbf{r}) = \int_\Omega G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') f(\mathbf{r}') d\mathbf{r}' - \oint_{\partial\Omega} g(\mathbf{r}') \frac{\partial G}{\partial n'} dS' \quad (\text{狄利克雷情形}). \]

这表明解由区域内的源和边界上的值共同决定。

第五步：镜像法求特殊区域的格林函数

对于某些规则区域（如半空间、球、圆），可用镜像法构造格林函数。例如上半空间 \(z>0\) 的狄利克雷格林函数为：

\[G_D(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = -\frac{1}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} + \frac{1}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}'_{\text{image}}|}, \]

其中 \(\mathbf{r}'_{\text{image}}\) 是 \(\mathbf{r}'\) 关于平面 \(z=0\) 的镜像点。这样构造的 \(G_D\) 在 \(z=0\) 上为零，满足边界条件。

第六步：本征函数展开法求格林函数

对于一般有界区域，可将格林函数按拉普拉斯算符的本征函数展开：

\[G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = \sum_n \frac{\phi_n(\mathbf{r}) \phi_n^*(\mathbf{r}')}{\lambda_n}, \]

其中 \(\phi_n\) 满足 \(\nabla^2 \phi_n = \lambda_n \phi_n\) 和齐次边界条件。这提供了构造格林函数的系统方法。

第七步：物理应用示例

在静电学中，格林函数法直接给出电势：

\[\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} d\mathbf{r}' + \text{边界项}. \]

在热传导稳态问题中，\(u\) 表示温度，\(f\) 表示热源，格林函数法给出温度分布。

这种方法将偏微分方程转化为积分方程，便于数值计算和解析处理。

格林函数法在泊松方程中的应用我们先从泊松方程本身开始。泊松方程的形式是： \[ \nabla^2 u(\mathbf{r}) = f(\mathbf{r}), \] 其中 \(u\) 是未知函数，\(f\) 是已知源项，\(\nabla^2\) 是拉普拉斯算符。这是一个非齐次偏微分方程，在静电学、引力场、热传导稳态问题等中广泛出现。第一步：引入格林函数的概念为了求解泊松方程，我们引入格林函数 \(G(\mathbf{r}, \mathbf{r}')\)，它定义为位于点 \(\mathbf{r}'\) 的单位点源在点 \(\mathbf{r}\) 产生的场，满足： \[ \nabla^2 G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}'), \] 其中 \(\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')\) 是狄拉克δ函数。格林函数体现了系统对点源的响应。第二步：推导泊松方程的积分形式解利用δ函数的性质和格林第二恒等式，可以推导出泊松方程的解为： \[ u(\mathbf{r}) = \int G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') f(\mathbf{r}') d\mathbf{r}' + \text{边界项}. \] 具体来说，对于无界空间（自由空间格林函数），边界项为零；对于有界区域，需要加上由边界条件决定的表面积分项。第三步：自由空间的格林函数在三维无界空间中，泊松方程的格林函数为： \[ G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = -\frac{1}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}. \] 验证：计算 \(\nabla^2 (1/|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|) = -4\pi \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')\)，因此满足定义方程。于是泊松方程在无界空间的解为： \[ u(\mathbf{r}) = \int \frac{f(\mathbf{r}')}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} d\mathbf{r}'. \] 这正是静电学中已知电荷分布求电势的公式。第四步：有界区域中的格林函数法对于有界区域 \(\Omega\)，我们需要构造满足齐次边界条件的格林函数。例如：狄利克雷边界条件：\(u| {\partial\Omega} = g\)，要求格林函数满足 \(G_ D(\mathbf{r}, \mathbf{r}')| {\mathbf{r} \in \partial\Omega} = 0\)。诺伊曼边界条件：\(\partial u/\partial n| {\partial\Omega} = h\)，要求格林函数满足 \(\partial G_ N/\partial n| {\mathbf{r} \in \partial\Omega} = \text{常数}\)。此时解为： \[ u(\mathbf{r}) = \int_ \Omega G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') f(\mathbf{r}') d\mathbf{r}' - \oint_ {\partial\Omega} g(\mathbf{r}') \frac{\partial G}{\partial n'} dS' \quad (\text{狄利克雷情形}). \] 这表明解由区域内的源和边界上的值共同决定。第五步：镜像法求特殊区域的格林函数对于某些规则区域（如半空间、球、圆），可用镜像法构造格林函数。例如上半空间 \(z>0\) 的狄利克雷格林函数为： \[ G_ D(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = -\frac{1}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} + \frac{1}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}' {\text{image}}|}, \] 其中 \(\mathbf{r}' {\text{image}}\) 是 \(\mathbf{r}'\) 关于平面 \(z=0\) 的镜像点。这样构造的 \(G_ D\) 在 \(z=0\) 上为零，满足边界条件。第六步：本征函数展开法求格林函数对于一般有界区域，可将格林函数按拉普拉斯算符的本征函数展开： \[ G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = \sum_ n \frac{\phi_ n(\mathbf{r}) \phi_ n^* (\mathbf{r}')}{\lambda_ n}, \] 其中 \(\phi_ n\) 满足 \(\nabla^2 \phi_ n = \lambda_ n \phi_ n\) 和齐次边界条件。这提供了构造格林函数的系统方法。第七步：物理应用示例在静电学中，格林函数法直接给出电势： \[ \phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_ 0} \int \frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} d\mathbf{r}' + \text{边界项}. \] 在热传导稳态问题中，\(u\) 表示温度，\(f\) 表示热源，格林函数法给出温度分布。这种方法将偏微分方程转化为积分方程，便于数值计算和解析处理。