曲面的测地线 我们先从直观理解开始。想象你是一只蚂蚁，在一个弯曲的表面上爬行。如果你总是沿着表面上的"最短路径"爬行，那么你爬过的这条路径，就叫做这个曲面上的"测地线"。在平面上，两点之间最短的路径是直线；在曲面上，测地线就扮演了"直线"的角色，所以它也被称为"测地直线"或"短程线"。 为了精确理解测地线，我们需要引入一个关键概念： 测地曲率 。一条曲线在曲面上，它在某一点的弯曲可以分解为两个部分： 法曲率 ：表示曲线由于曲面本身弯曲而产生的弯曲程度。其方向沿着曲面的法线方向。 测地曲率 ：表示曲线在曲面"内部"的弯曲程度。想象将曲线投影到该点的切平面上，投影曲线的曲率就是原曲线的测地曲率。 测地线的定义 就是：曲面上的一条曲线，如果其上每一点的测地曲率都为零，那么这条曲线就是测地线。 这意味着什么呢？这意味着测地线在曲面"内部"看来是不弯曲的，是"直"的。它所有的弯曲都仅仅是由于曲面本身的弯曲造成的。一个很好的例子是球面上的大圆（比如地球的赤道和经线）。如果你沿着球面的大圆航行，你的航向感觉上是"直"的，你没有向左或向右转弯，你路径的弯曲完全是因为地球是圆的。 那么，如何找到或描述一条测地线呢？这需要用到微分几何的工具。我们通常用曲线的参数化形式来描述它。测地线满足一个重要的微分方程，称为 测地线方程 。 这个方程本质上来自于"变分法"。我们寻找的是连接曲面上两点的、长度最短的曲线。通过一个叫做"一阶变分为零"的条件，我们可以推导出测地线必须满足的方程。这个方程的具体形式依赖于描述曲面的坐标系（比如曲纹坐标 u, v）和曲面的 度量张量 （第一基本形式）。测地线方程是一个二阶常微分方程组，求解它就可以得到测地线的参数方程。 测地线有许多重要的性质： 短程性 ：在足够小的邻域内，测地线确实是连接两点的最短路径。但如果距离太远，可能就不是了（比如球面上，一段大圆优弧虽然也是测地线，但不是最短路径）。 自平行 （Levi-Civita平行移动）：沿着测地线，其切向量场是平行于自身的。这意味着当你沿着测地线移动时，你携带的切方向不会相对于曲面发生"旋转"。 与法线的关系 ：对于测地线，其主法线（曲线本身的弯曲方向）与曲面在该点的法线是平行的。 测地线在现实世界和科学中有广泛的应用。最经典的应用是在 大地测量学 和 导航 中。此外，在 广义相对论 中，天体和光在时空（一个四维的弯曲黎曼流形）中的运动轨迹，就是时空的测地线。在 计算机图形学 和 几何处理 中，计算曲面上的测地线对于纹理映射、形状分析和网格变形等都至关重要。