平行曲率线 1. 曲面的曲线分类基础 在曲面上，曲线可以根据其与曲率方向的关系分类。若曲面上一条曲线在每一点的切线总沿着该点的一个 主方向 ，则称它为曲率线。曲率线反映了曲面弯曲的主要特征，其切方向对应主曲率（即曲面在该点沿该方向的法曲率取极值）。 2. 平行曲率线的定义 设曲面 \(S\) 上有一条曲率线 \(C\)。若将 \(C\) 沿曲面的另一族曲率线的正交轨迹平行移动（即沿法线方向在空间中平移），得到一族曲线，称为 平行曲率线 。更精确地说： 取 \(C\) 上每一点，沿该点另一主方向（与 \(C\) 相切方向垂直）的曲率线移动固定距离，生成的新曲线与 \(C\) 具有相同的法曲率性质，且彼此平行。 3. 平行曲率线的几何特性 保持主方向 ：平行曲率线在对应点处的切线方向仍为曲面在该点的主方向。 恒定法曲率 ：若原曲率线对应的主曲率为 \(k_ 1\)，则平行曲率线在同一主方向上的法曲率仍为 \(k_ 1\)（在等距变换下不变）。 等距对应 ：原曲率线与平行曲率线所在的曲面区域是局部等距的，即它们的第一基本形式相同。 4. 数学表示与推导 设曲面参数化为 \(\mathbf{r}(u,v)\)，且 \(u\)-曲线和 \(v\)-曲线是曲率线（即 \(F=0, M=0\)）。第一基本形式为： \[ ds^2 = E\,du^2 + G\,dv^2 \] 第二基本形式为： \[ L\,du^2 + N\,dv^2 \] 主曲率为 \(k_ 1 = L/E\)、\(k_ 2 = N/G\)。 若沿 \(u\)-曲线（曲率线）生成平行曲率线，则新曲面为 \(\tilde{\mathbf{r}}(u,v) = \mathbf{r}(u,v) + a\,\mathbf{N}(u,v)\)，其中 \(\mathbf{N}\) 是单位法向量，\(a\) 为常数。可以证明，\(\tilde{\mathbf{r}}\) 的 \(u\)-曲线仍是曲率线，且主曲率不变。 5. 应用与实例 旋转曲面 ：经线（子午线）是曲率线，沿纬线平行移动经线得到的曲线仍是曲率线。 可展曲面 ：柱面或锥面上，平行曲率线对应直母线的平移，保持法曲率为零。 几何设计 ：在计算机图形学中，平行曲率线用于曲面网格的生成，保证结构的均匀性。 6. 与相关概念的区分 平行曲线 ：在平面上，平行曲线是等距线，但不一定保持曲率线性质。 曲率线 ：仅要求曲线切方向为主方向，而平行曲率线强调通过平移保持曲率线族。 平行曲率线是研究曲面局部几何与整体变形的重要工具，在微分几何与工程应用中具有广泛意义。