非线性算子的次微分理论

我将为您系统讲解非线性算子理论中一个关键概念——次微分。这个概念在凸分析和非光滑分析中具有基础性地位。

1. 概念起源与动机
   次微分的引入源于凸函数在不可导点处也需要类似"导数"的概念。对于可导函数，梯度给出了函数在某点的唯一线性逼近；但对于凸函数，即使在不可导点，也存在一个集合来描述函数的局部行为。

2. 严格定义
   设X是巴拿赫空间，f: X → ℝ∪{+∞}是正常凸函数（即不恒等于+∞）。函数f在点x₀ ∈ dom(f)处的次微分定义为：
   ∂f(x₀) = {x* ∈ X* : f(x) ≥ f(x₀) + ⟨x*, x - x₀⟩, ∀x ∈ X}
   其中X*是对偶空间，⟨·,·⟩表示对偶配对。

3. 几何解释
   每个次梯度x* ∈ ∂f(x₀)对应一个仿射函数，该函数在x₀处与f相接触，且全局不超过f。所有这样的仿射函数构成了f在x₀处的支撑超平面族。

4. 基本性质

• 非空性：若f在x₀处连续，则∂f(x₀)是非空弱*紧凸集
• 单调性：次微分算子∂f是极大单调算子
• 可微点特性：若f在x₀处Gateaux可微，则∂f(x₀) = {∇f(x₀)}

5. 计算规则

• 数乘：∂(λf)(x) = λ∂f(x) (λ > 0)
• 求和：∂(f+g)(x) ⊇ ∂f(x) + ∂g(x)（等号在适当条件下成立）
• 复合：链式法则在凸函数复合线性算子时成立

6. 与最优化的联系
   x₀是凸函数f的极小点当且仅当0 ∈ ∂f(x₀)。这一简单而深刻的结论构成了凸优化理论的基础，推广了可微情形下梯度为零的条件。

7. 推广与发展

• 局部Lipschitz函数：Clarke次微分
• 非凸函数：近似次微分
• 向量值函数：coderivative概念

次微分理论将微积分的思想成功推广到不可微情形，为研究非光滑优化问题和变分不等式提供了强大工具。