随机变量的变换的Gibbs抽样方法 Gibbs抽样是马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法中的一种重要采样技术，特别适用于从多元概率分布中抽取样本。让我们逐步理解这个方法： 第一步：理解基本场景 假设我们需要从一个包含d个随机变量的联合分布中采样，记作P(X₁, X₂, ..., X₍d₎)。当d很大时，直接从联合分布采样通常很困难。Gibbs抽样通过构建一个马尔可夫链来解决这个问题，该链的平稳分布就是目标联合分布。 第二步：核心思想 - 条件分布采样 Gibbs抽样的关键洞察是：虽然联合分布可能很复杂，但条件分布P(Xᵢ|X₁, ..., Xᵢ₋₁, Xᵢ₊₁, ..., X₍d₎)往往相对简单。对于每个变量Xᵢ，给定其他所有变量的条件下，其条件分布通常有已知形式，容易从中采样。 第三步：算法执行步骤 初始化：从任意初始点(X₁⁽⁰⁾, X₂⁽⁰⁾, ..., X₍d₎⁽⁰⁾)开始 迭代更新：对于第t次迭代，按顺序更新每个分量： 从P(X₁|X₂⁽ᵗ⁾, X₃⁽ᵗ⁾, ..., X₍d₎⁽ᵗ⁾)采样X₁⁽ᵗ⁺¹⁾ 从P(X₂|X₁⁽ᵗ⁺¹⁾, X₃⁽ᵗ⁾, ..., X₍d₎⁽ᵗ⁾)采样X₂⁽ᵗ⁺¹⁾ ... 从P(X₍d₎|X₁⁽ᵗ⁺¹⁾, X₂⁽ᵗ⁺¹⁾, ..., X₍d₋₁₎⁽ᵗ⁺¹⁾)采样X₍d₎⁽ᵗ⁺¹⁾ 第四步：更新顺序的变体 除了顺序更新，还有随机扫描Gibbs抽样，即每次随机选择一个分量进行更新。这能保证链的不可约性，在某些情况下收敛更快。 第五步：收敛性保证 在正则性条件下，Gibbs抽样构建的马尔可夫链满足： 不可约性：从任何状态都能到达任何其他状态 非周期性：链不会陷入周期性循环 可逆性：满足细致平衡条件，确保目标分布是平稳分布 第六步：实际应用考虑 预烧期：需要丢弃初始的若干样本，使链达到平稳分布 样本相关性：连续样本之间存在自相关性，可能需要稀疏采样 收敛诊断：使用Gelman-Rubin统计量等方法检查收敛 Gibbs抽样的优势在于将高维采样问题分解为一系列一维采样问题，特别适用于层次贝叶斯模型、图像处理和统计物理等领域。