可测空间上的测度扩张 我们先从最基础的概念开始。一个可测空间是指一个集合 \(X\) 与其上的一个σ-代数 \(\mathcal{A}\) 构成的二元组 \((X, \mathcal{A})\)。这里的σ-代数 \(\mathcal{A}\) 是 \(X\) 的某些子集构成的集族，满足：包含全集 \(X\)、对补集封闭、对可数并封闭。 测度则是定义在σ-代数上的一个函数 \(\mu: \mathcal{A} \to [ 0, \infty]\)，满足可数可加性。也就是说，如果 \(\{E_ n\}\) 是 \(\mathcal{A}\) 中两两不交的集合序列，那么 \(\mu\left(\bigcup_ {n=1}^\infty E_ n\right) = \sum_ {n=1}^\infty \mu(E_ n)\)。 现在，我们考虑测度扩张问题：假设我们有一个定义在某个集类 \(\mathcal{E}\)（不一定是σ-代数）上的集函数 \(\mu_ 0\)，我们能否将其扩张为定义在由 \(\mathcal{E}\) 生成的σ-代数 \(\sigma(\mathcal{E})\) 上的测度 \(\mu\)？也就是说，对于所有 \(E \in \mathcal{E}\)，我们希望有 \(\mu(E) = \mu_ 0(E)\)。 一个典型的例子是，\(\mathcal{E}\) 是一个半环（即对有限交封闭，且差集可以写成有限个不交集合的并），而 \(\mu_ 0\) 是一个预测度（满足可数可加性等性质）。在这种情况下，卡拉西奥多里延拓定理告诉我们，这样的测度扩张是存在的，并且在某些条件下是唯一的。 具体来说，卡拉西奥多里延拓定理的步骤是：首先，我们利用 \(\mu_ 0\) 定义一个外测度 \(\mu^ \) 在所有子集上：对于任意 \(A \subseteq X\)，定义 \[ \mu^ (A) = \inf\left\{ \sum_ {n=1}^\infty \mu_ 0(E_ n) : E_ n \in \mathcal{E}, A \subseteq \bigcup_ {n=1}^\infty E_ n \right\}. \] 然后，我们考虑所有满足卡拉西奥多里条件的集合：\(M \subseteq X\) 使得对任意 \(A \subseteq X\)，有 \(\mu^ (A) = \mu^ (A \cap M) + \mu^ (A \cap M^c)\)。这些集合构成了一个σ-代数，并且 \(\mu^ \) 限制在这个σ-代数上就是一个测度。最后，如果 \(\mu_ 0\) 是σ-有限的，那么这个测度扩张是唯一的。 这个定理的重要性在于，它为我们从较简单的集类（如区间）上的测度（如长度）出发，构造更复杂的测度（如勒贝格测度）提供了系统的方法。