模的正合序列
字数 1086 2025-11-12 08:36:01

模的正合序列

我们先从最基础的概念开始。一个模的正合序列是模同态构成的序列，使得每个同态的像恰好等于下一个同态的核。这是研究模之间关系的重要工具。

首先，考虑三个模 \(A\)、\(B\)、\(C\) 以及两个同态 \(f: A \to B\) 和 \(g: B \to C\)。序列

\[A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \]

被称为在 \(B\) 处正合，如果 \(\operatorname{im} f = \ker g\)。这意味着 \(f\) 的像中的元素恰好是那些被 \(g\) 映射到零的元素。

一个短正合序列是形如

\[0 \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0 \]

的序列，它在 \(A\)、\(B\)、\(C\) 处均正合。具体来说：

  • 在 \(A\) 处正合要求 \(f\) 是单同态（因为 \(\ker f = \operatorname{im}(0 \to A) = 0\)）。
  • 在 \(C\) 处正合要求 \(g\) 是满同态（因为 \(\operatorname{im} g = \ker(C \to 0) = C\)）。
  • 在 \(B\) 处正合要求 \(\operatorname{im} f = \ker g\)。

短正合序列表明 \(B\) 以某种方式由 \(A\) 和 \(C\) 扩展而成，其中 \(A\) 可以视为 \(B\) 的子模，而 \(C\) 同构于商模 \(B / A\)。

更一般地，一个长正合序列是无限或有限的序列

\[\cdots \to M_{i-1} \xrightarrow{f_{i-1}} M_i \xrightarrow{f_i} M_{i+1} \xrightarrow{f_{i+1}} \cdots \]

其中在每个 \(M_i\) 处都有 \(\operatorname{im} f_{i-1} = \ker f_i\)。长正合序列常见于同调代数中，用于研究模的导出函子，如 \(\operatorname{Ext}\) 和 \(\operatorname{Tor}\)。

正合序列在模论中用于分析模的分解、扩展以及同调性质。例如，如果两个短正合序列通过同态相连，并形成交换图，则蛇引理（snake lemma）可以生成一个连接核与余核的正合序列，这在证明许多同调结果时非常有用。

理解正合序列有助于深入掌握模的结构，并在代数拓扑和代数几何中应用到链复形和上同调理论中。

模的正合序列 我们先从最基础的概念开始。一个模的正合序列是模同态构成的序列，使得每个同态的像恰好等于下一个同态的核。这是研究模之间关系的重要工具。 首先，考虑三个模 \(A\)、\(B\)、\(C\) 以及两个同态 \(f: A \to B\) 和 \(g: B \to C\)。序列 \[ A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \] 被称为在 \(B\) 处正合，如果 \(\operatorname{im} f = \ker g\)。这意味着 \(f\) 的像中的元素恰好是那些被 \(g\) 映射到零的元素。 一个短正合序列是形如 \[ 0 \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0 \] 的序列，它在 \(A\)、\(B\)、\(C\) 处均正合。具体来说： 在 \(A\) 处正合要求 \(f\) 是单同态（因为 \(\ker f = \operatorname{im}(0 \to A) = 0\)）。 在 \(C\) 处正合要求 \(g\) 是满同态（因为 \(\operatorname{im} g = \ker(C \to 0) = C\)）。 在 \(B\) 处正合要求 \(\operatorname{im} f = \ker g\)。 短正合序列表明 \(B\) 以某种方式由 \(A\) 和 \(C\) 扩展而成，其中 \(A\) 可以视为 \(B\) 的子模，而 \(C\) 同构于商模 \(B / A\)。 更一般地，一个长正合序列是无限或有限的序列 \[ \cdots \to M_ {i-1} \xrightarrow{f_ {i-1}} M_ i \xrightarrow{f_ i} M_ {i+1} \xrightarrow{f_ {i+1}} \cdots \] 其中在每个 \(M_ i\) 处都有 \(\operatorname{im} f_ {i-1} = \ker f_ i\)。长正合序列常见于同调代数中，用于研究模的导出函子，如 \(\operatorname{Ext}\) 和 \(\operatorname{Tor}\)。 正合序列在模论中用于分析模的分解、扩展以及同调性质。例如，如果两个短正合序列通过同态相连，并形成交换图，则蛇引理（snake lemma）可以生成一个连接核与余核的正合序列，这在证明许多同调结果时非常有用。 理解正合序列有助于深入掌握模的结构，并在代数拓扑和代数几何中应用到链复形和上同调理论中。