可测空间上的测度扩张 我将为您详细讲解可测空间上测度扩张的概念，这是实变函数和测度论中连接抽象测度理论与具体构造的关键环节。 1. 问题背景与动机 在测度论中，我们经常面临这样的问题：如何将一个定义在某个较小子集族（如半环）上的"初步测度"（如前测度）扩展到更大的σ-代数上？例如，勒贝格测度的构造就是从区间长度出发，逐步扩展到所有勒贝格可测集。测度扩张理论为这类问题提供了系统解决方案。 2. 基本定义与前提条件 半环 ：集合族𝒮 ⊆ 2^X，满足：(i) ∅ ∈ 𝒮；(ii) 对任意A,B ∈ 𝒮，有A∩B ∈ 𝒮；(iii) 若A,B ∈ 𝒮且A ⊆ B，则存在有限个两两不交的C₁,...,Cₖ ∈ 𝒮使得B\A = ∪_ {i=1}^k Cᵢ 前测度 ：函数μ₀: 𝒮 → [ 0,∞ ]满足：(i) μ₀(∅)=0；(ii) 若{Aₙ} ⊆ 𝒮两两不交且∪Aₙ ∈ 𝒮，则μ₀(∪Aₙ) = Σμ₀(Aₙ)（σ可加性） 3. 外测度的构造 从任意前测度μ₀出发，我们可定义对应的外测度μ* ：对任意E ⊆ X， μ* (E) = inf{ Σₙ μ₀(Aₙ) : {Aₙ} ⊆ 𝒮, E ⊆ ∪Aₙ } 这个定义直观解释为：用𝒮中的集合尽可能经济地覆盖E，所有可能覆盖的测度之和的下确界就是E的外测度。 4. Carathéodory可测性 集合A ⊆ X称为μ* -可测，如果对任意测试集T ⊆ X，满足： μ* (T) = μ* (T∩A) + μ* (T∩Aᶜ) 这个条件的直观意义是：集合A能够"清晰"地分割任意测试集T，使得外测度具有可加性。所有μ* -可测集构成一个σ-代数ℳ。 5. 测度扩张定理 若μ₀是半环𝒮上的σ有限前测度，则： 存在𝒮生成的σ-代数σ(𝒮)上的测度μ，使得μ|𝒮 = μ₀ 这样的扩张在σ(𝒮)上是唯一的 且μ恰好是μ* 在ℳ上的限制，而σ(𝒮) ⊆ ℳ 6. 扩张的完备性 通过外测度方法得到的测度空间(X,ℳ,μ)是完备的：即若μ(A)=0且B ⊆ A，则B ∈ ℳ且μ(B)=0。这是勒贝格测度相比博雷尔测度的关键优势。 7. 应用实例 勒贝格-斯蒂尔杰斯测度的构造是此理论的典型应用：从区间函数F(b)-F(a)出发，先定义在半环{(a,b ]}上，验证其为前测度，然后通过上述过程扩张到相应的σ-代数上。 这个理论框架不仅统一了多种测度的构造方法，还揭示了可测集的本质特征，是现代概率论和分析学的基础工具之一。