“代数K理论”（Algebraic K-theory）
字数 3822 2025-10-27 23:49:43

好的，我们这次来讲解 “代数K理论”（Algebraic K-theory）。
这是一个从线性代数出发，逐步推广到环、模、拓扑乃至高阶范畴的深刻理论，既有直观的起点，又有高度抽象的发展。我会从最基础的概念开始，循序渐进地展开。

1. 从线性代数与Grothendieck群讲起

1.1 背景问题

在线性代数中，我们知道有限维向量空间可以由它的维数分类：两个有限维向量空间同构当且仅当它们的维数相等。
如果把向量空间换成更一般的“模”（比如在环 \(R\) 上），如何分类有限生成投射模（相当于向量空间的非数值化推广）？

一个想法是模仿维数：希望定义一个“维数函数” \(d\)，使得

\[d(P \oplus Q) = d(P) + d(Q) \]

并且同构的模有相同的 \(d\)。

1.2 自由模的稳定分类

对于环 \(R\)，考虑有限生成自由模 \(R^n\)。
若 \(R^n \cong R^m\)，是否一定有 \(n = m\)？ 对很多环（比如交换环）是成立的，但非交换环可能不成立（有 IBN 性质的可避免问题）。
更精细的办法是考虑稳定等价：
定义 \(R^m\) 与 \(R^n\) 稳定等价，若存在 \(k\) 使得 \(R^{m+k} \cong R^{n+k}\)。
在稳定等价下，自由模按它们的“秩” \(n\) 分类，这些秩组成一个半群 \((\mathbb{N}, +)\)。

1.3 Grothendieck 群 \(K_0\)

给定一个加法范畴（或确切地说，一个具有直和的范畴），我们可以构造它的 Grothendieck 群：

  • 对象集合（模同构类）生成一个自由阿贝尔群；
  • 对每个对象 \([P]\)，施加关系 \([P \oplus Q] = [P] + [Q]\)。

对于投影模范畴 \(\mathrm{Proj}(R)\)，这样得到的阿贝尔群记作 \(K_0(R)\)。
例如：

  • 若 \(R\) 是域，则 \(K_0(R) \cong \mathbb{Z}\)，由维数给出。
  • 若 \(R\) 是 PID，有限生成投射模是自由模，同样 \(K_0(R) \cong \mathbb{Z}\)。
  • 若 \(R\) 有非自由的投射模（比如 Dedekind 整环的理想），则 \(K_0(R) \cong \mathbb{Z} \oplus \mathrm{Cl}(R)\)，其中 \(\mathrm{Cl}(R)\) 是理想类群。

所以 \(K_0\) 是线性代数“维数”的推广，包含更精细的算术/几何信息。

2. 高阶 K 群与拓扑起源

2.1 拓扑 K 理论

在拓扑学中，Atiyah–Hirzebruch 定义了拓扑 K 理论：对紧拓扑空间 \(X\)，

\[K^0(X) = \text{复向量丛的 Grothendieck 群} \]

并且用 Bott 周期性 可以定义 \(K^{-n}(X)\)，满足 \(K^{-n}(X) \cong K^{-n-2}(X)\)。

由此启发：能否对环 \(R\) 也定义 \(K_n(R)\)，\(n \ge 0\)，类似同伦群？

2.2 加性范畴的 \(K_0\) 与 \(K_1\)

  • \(K_0\) 如上：模的稳定分类。
  • \(K_1(R)\) 来源于线性群的同伦理论。

考虑一般线性群 \(GL(R) = \bigcup_n GL_n(R)\)（因为 \(GL_n \hookrightarrow GL_{n+1}\) 嵌入）。
定义

\[K_1(R) = GL(R) / [GL(R), GL(R)] \]

即 \(GL(R)\) 的交换化（阿贝尔化）。
这可以解释为：考虑初等矩阵 \(E_{ij}(r)\)，它们生成的子群是 \(E(R)\)，Whitehead 引理说 \([GL(R), GL(R)] = E(R)\)（在好多环成立），所以 \(K_1(R) = GL(R)/E(R)\)。
直观：\(K_1\) 分类“模同构的自同构”的稳定差异，可看作行列式概念的推广（对可换环 \(R\)，有时 \(K_1(R) \cong R^\times\) 当 \(R\) 是域时）。

3. \(K_2\) 与 Steinberg 群

3.1 Steinberg 群 \(\mathrm{St}(R)\)

对环 \(R\)，Steinberg 群由符号 \(x_{ij}(r)\)（\(i \ne j, r \in R\)）生成，满足一些关系模仿初等矩阵的关系：

  1. \(x_{ij}(r) x_{ij}(s) = x_{ij}(r+s)\)
  2. 若 \(|i-j|\) 与 \(|k-l|\) 不同且 \(j\ne k\)，则 \([x_{ij}(r), x_{kl}(s)] = 1\)
  3. 若 \(j=k\) 且 \(i\ne l\)，则 \([x_{ij}(r), x_{jl}(s)] = x_{il}(rs)\)

有自然映射 \(\phi: \mathrm{St}(R) \to E(R) \subset GL(R)\)，\(x_{ij}(r) \mapsto E_{ij}(r)\)。

3.2 \(K_2\) 的定义

定义

\[K_2(R) = \ker(\phi: \mathrm{St}(R) \to E(R)) \]

即 Steinberg 群映射到初等群的核。
Matsumoto 定理：对域 \(F\)，\(K_2(F)\) 由符号 \(\{u, v\}\)（\(u,v \in F^\times\)）生成，满足双线性与 Steinberg 关系 \(\{u, 1-u\} = 1\)（对 \(u \ne 0,1\)）。
这联系到二次互反律及 Brauer 群。

所以 \(K_2\) 编码了域中“非交换性”的某种剩余，是理解中心单代数的关键。

4. 高阶 \(K_n\)：Quillen 的 Q 构造与 \(+\) 构造

4.1 同伦群途径

Quillen 1970 年代初给出统一定义：对环 \(R\)（更一般地对正合范畴、Waldhausen 范畴等），
构造一个拓扑空间（或无穷环路空间） \(K(R)\)，使得

\[K_n(R) = \pi_n(K(R)), \quad n \ge 0 \]

其中 \(K_0, K_1, K_2\) 与前述经典定义一致。

4.2 两种构造

  1. + 构造：对 \(GL(R)\) 进行 Abel 化的一种拓扑提升：
    \(BGL(R)^+\) 是 \(BGL(R)\) 加上 2-胞腔、3-胞腔… 消去基本群 \(GL(R)\) 的交换化阻碍，使得 \(\pi_1(BGL(R)^+) = K_1(R)\)，并且高同伦群是 \(K_n(R)\)。

  2. Q 构造：对范畴 \(\mathcal{P}(R)\)（有限生成投射右 R-模范畴），做 Quillen Q-构造：
    对象还是那些模，但态射是“子商”数据，形成一个新的范畴，其分类空间（几何实现）的同伦群是 \(K_n(R)\)。
    这推广到高阶范畴语言更自然。

5. 代数 K 理论的性质与意义

5.1 基本性质

  • 正合序列：环同态、理想等可诱导 K 群的长正合序列（局部化序列）。
  • 乘积：有杯积 \(K_i(R) \otimes K_j(R) \to K_{i+j}(R)\)，使 \(\bigoplus K_i\) 成环。
  • Milnor K 理论：对域 \(F\)，Milnor 定义 \(K_n^M(F)\) 由生成元 \(\{a_1, \dots, a_n\}\) 与 Steinberg 关系，是 Quillen \(K_n(F)\) 的商（当 \(n\ge 3\) 可能不同）。

5.2 与数论、几何的联系

  • Lichtenbaum–Quillen 猜想：涉及 K 群与平展上同调、Motivic 上同调的关系，与贝林森猜想等有关。
  • 代数 K 理论计算：如 \(K_n(\mathbb{Z})\) 的有限性、维数，与 ζ 函数值的关系（Kummer–Vandiver 猜想相关）。
  • 几何应用：代数 K 理论是广义 Riemann–Roch 定理的自然设置（对奇异簇也有陈类到 K 群）。

6. 现代发展：高阶范畴与拓扑循环同调

现代处理用 稳定无穷范畴：
对稳定无穷范畴 \(\mathcal{C}\)，其代数 K 理论空间可通过 Waldhausen S.• 构造 或 Barratt–Priddy–Quillen 定理 联系对称群分类空间，再通过 群完备化 得到。

还有 拓扑循环同调 \(TC(R)\) 由 Bökstedt–Hsiang–Madsen 引入，给出逼近 \(K(R)\) 的“特征 p”信息，计算更有力。

总结：
代数 K 理论从向量丛的稳定分类（\(K_0\)）与线性群同伦（\(K_1, K_2\)）出发，经 Quillen 等发展为用拓扑/同伦论工具研究环与范畴的深刻不变量，与数论、代数几何、拓扑学紧密交织。

好的，我们这次来讲解 “代数K理论”（Algebraic K-theory） 。 这是一个从线性代数出发，逐步推广到环、模、拓扑乃至高阶范畴的深刻理论，既有直观的起点，又有高度抽象的发展。我会从最基础的概念开始，循序渐进地展开。 1. 从线性代数与Grothendieck群讲起 1.1 背景问题 在线性代数中，我们知道有限维向量空间可以由它的维数分类：两个有限维向量空间同构当且仅当它们的维数相等。 如果把向量空间换成更一般的“模”（比如在环 \(R\) 上），如何分类有限生成投射模（相当于向量空间的非数值化推广）？ 一个想法是模仿维数：希望定义一个“维数函数” \(d\)，使得 \[ d(P \oplus Q) = d(P) + d(Q) \] 并且同构的模有相同的 \(d\)。 1.2 自由模的稳定分类 对于环 \(R\)，考虑有限生成自由模 \(R^n\)。 若 \(R^n \cong R^m\)，是否一定有 \(n = m\)？ 对很多环（比如交换环）是成立的，但非交换环可能不成立（有 IBN 性质的可避免问题）。 更精细的办法是考虑稳定等价： 定义 \(R^m\) 与 \(R^n\) 稳定等价，若存在 \(k\) 使得 \(R^{m+k} \cong R^{n+k}\)。 在稳定等价下，自由模按它们的“秩” \(n\) 分类，这些秩组成一个半群 \((\mathbb{N}, +)\)。 1.3 Grothendieck 群 \(K_ 0\) 给定一个加法范畴（或确切地说，一个具有直和的范畴），我们可以构造它的 Grothendieck 群 ： 对象集合（模同构类）生成一个自由阿贝尔群； 对每个对象 \([ P]\)，施加关系 \([ P \oplus Q] = [ P] + [ Q ]\)。 对于投影模范畴 \(\mathrm{Proj}(R)\)，这样得到的阿贝尔群记作 \(K_ 0(R)\)。 例如： 若 \(R\) 是域，则 \(K_ 0(R) \cong \mathbb{Z}\)，由维数给出。 若 \(R\) 是 PID，有限生成投射模是自由模，同样 \(K_ 0(R) \cong \mathbb{Z}\)。 若 \(R\) 有非自由的投射模（比如 Dedekind 整环的理想），则 \(K_ 0(R) \cong \mathbb{Z} \oplus \mathrm{Cl}(R)\)，其中 \(\mathrm{Cl}(R)\) 是理想类群。 所以 \(K_ 0\) 是线性代数“维数”的推广，包含更精细的算术/几何信息。 2. 高阶 K 群与拓扑起源 2.1 拓扑 K 理论 在拓扑学中，Atiyah–Hirzebruch 定义了拓扑 K 理论：对紧拓扑空间 \(X\)， \[ K^0(X) = \text{复向量丛的 Grothendieck 群} \] 并且用 Bott 周期性 可以定义 \(K^{-n}(X)\)，满足 \(K^{-n}(X) \cong K^{-n-2}(X)\)。 由此启发：能否对环 \(R\) 也定义 \(K_ n(R)\)，\(n \ge 0\)，类似同伦群？ 2.2 加性范畴的 \(K_ 0\) 与 \(K_ 1\) \(K_ 0\) 如上：模的稳定分类。 \(K_ 1(R)\) 来源于线性群的同伦理论。 考虑一般线性群 \(GL(R) = \bigcup_ n GL_ n(R)\)（因为 \(GL_ n \hookrightarrow GL_ {n+1}\) 嵌入）。 定义 \[ K_ 1(R) = GL(R) / [ GL(R), GL(R) ] \] 即 \(GL(R)\) 的交换化（阿贝尔化）。 这可以解释为：考虑初等矩阵 \(E_ {ij}(r)\)，它们生成的子群是 \(E(R)\)，Whitehead 引理说 \([ GL(R), GL(R)] = E(R)\)（在好多环成立），所以 \(K_ 1(R) = GL(R)/E(R)\)。 直观：\(K_ 1\) 分类“模同构的自同构”的稳定差异，可看作行列式概念的推广（对可换环 \(R\)，有时 \(K_ 1(R) \cong R^\times\) 当 \(R\) 是域时）。 3. \(K_ 2\) 与 Steinberg 群 3.1 Steinberg 群 \(\mathrm{St}(R)\) 对环 \(R\)，Steinberg 群由符号 \(x_ {ij}(r)\)（\(i \ne j, r \in R\)）生成，满足一些关系模仿初等矩阵的关系： \(x_ {ij}(r) x_ {ij}(s) = x_ {ij}(r+s)\) 若 \(|i-j|\) 与 \(|k-l|\) 不同且 \(j\ne k\)，则 \([ x_ {ij}(r), x_ {kl}(s) ] = 1\) 若 \(j=k\) 且 \(i\ne l\)，则 \([ x_ {ij}(r), x_ {jl}(s)] = x_ {il}(rs)\) 有自然映射 \(\phi: \mathrm{St}(R) \to E(R) \subset GL(R)\)，\(x_ {ij}(r) \mapsto E_ {ij}(r)\)。 3.2 \(K_ 2\) 的定义 定义 \[ K_ 2(R) = \ker(\phi: \mathrm{St}(R) \to E(R)) \] 即 Steinberg 群映射到初等群的核。 Matsumoto 定理：对域 \(F\)，\(K_ 2(F)\) 由符号 \(\{u, v\}\)（\(u,v \in F^\times\)）生成，满足双线性与 Steinberg 关系 \(\{u, 1-u\} = 1\)（对 \(u \ne 0,1\)）。 这联系到二次互反律及 Brauer 群。 所以 \(K_ 2\) 编码了域中“非交换性”的某种剩余，是理解中心单代数的关键。 4. 高阶 \(K_ n\)：Quillen 的 Q 构造与 \(+\) 构造 4.1 同伦群途径 Quillen 1970 年代初给出统一定义：对环 \(R\)（更一般地对正合范畴、Waldhausen 范畴等）， 构造一个拓扑空间（或无穷环路空间） \(K(R)\)，使得 \[ K_ n(R) = \pi_ n(K(R)), \quad n \ge 0 \] 其中 \(K_ 0, K_ 1, K_ 2\) 与前述经典定义一致。 4.2 两种构造 + 构造 ：对 \(GL(R)\) 进行 Abel 化的一种拓扑提升： \(BGL(R)^+\) 是 \(BGL(R)\) 加上 2-胞腔、3-胞腔… 消去基本群 \(GL(R)\) 的交换化阻碍，使得 \(\pi_ 1(BGL(R)^+) = K_ 1(R)\)，并且高同伦群是 \(K_ n(R)\)。 Q 构造 ：对范畴 \(\mathcal{P}(R)\)（有限生成投射右 R-模范畴），做 Quillen Q-构造 ： 对象还是那些模，但态射是“子商”数据，形成一个新的范畴，其分类空间（几何实现）的同伦群是 \(K_ n(R)\)。 这推广到高阶范畴语言更自然。 5. 代数 K 理论的性质与意义 5.1 基本性质 正合序列 ：环同态、理想等可诱导 K 群的长正合序列（局部化序列）。 乘积 ：有杯积 \(K_ i(R) \otimes K_ j(R) \to K_ {i+j}(R)\)，使 \(\bigoplus K_ i\) 成环。 Milnor K 理论 ：对域 \(F\)，Milnor 定义 \(K_ n^M(F)\) 由生成元 \(\{a_ 1, \dots, a_ n\}\) 与 Steinberg 关系，是 Quillen \(K_ n(F)\) 的商（当 \(n\ge 3\) 可能不同）。 5.2 与数论、几何的联系 Lichtenbaum–Quillen 猜想 ：涉及 K 群与平展上同调、Motivic 上同调的关系，与贝林森猜想等有关。 代数 K 理论计算 ：如 \(K_ n(\mathbb{Z})\) 的有限性、维数，与 ζ 函数值的关系（Kummer–Vandiver 猜想相关）。 几何应用 ：代数 K 理论是广义 Riemann–Roch 定理的自然设置（对奇异簇也有陈类到 K 群）。 6. 现代发展：高阶范畴与拓扑循环同调 现代处理用 稳定无穷范畴 ： 对稳定无穷范畴 \(\mathcal{C}\)，其代数 K 理论空间可通过 Waldhausen S.• 构造 或 Barratt–Priddy–Quillen 定理 联系对称群分类空间，再通过 群完备化 得到。 还有 拓扑循环同调 \(TC(R)\) 由 Bökstedt–Hsiang–Madsen 引入，给出逼近 \(K(R)\) 的“特征 p”信息，计算更有力。 总结 ： 代数 K 理论从向量丛的稳定分类（\(K_ 0\)）与线性群同伦（\(K_ 1, K_ 2\)）出发，经 Quillen 等发展为用拓扑/同伦论工具研究环与范畴的深刻不变量，与数论、代数几何、拓扑学紧密交织。