可测函数序列的依测度收敛

1. 定义与动机
   设 \((X, \mathcal{F}, \mu)\) 是一个测度空间，\(\{f_n\}\) 和 \(f\) 是定义在 \(X\) 上的实值可测函数。若对任意 \(\varepsilon > 0\)，满足：

\[ \lim_{n\to\infty} \mu\left(\{x \in X : |f_n(x) - f(x)| \geq \varepsilon\}\right) = 0, \]

则称 \(\{f_n\}\) 依测度收敛 到 \(f\)，记作 \(f_n \xrightarrow{\mu} f\)。
动机：这种收敛性仅关注函数值差异较大的点集的测度趋于零，不要求函数在每一点附近表现一致，因此比处处收敛更弱，但比一致收敛更易实现。

2. 与其它收敛性的关系

   • 与几乎处处收敛：若 \(f_n \to f\) 几乎处处，且 \(\mu(X) < \infty\)，则 \(f_n \xrightarrow{\mu} f\)（由叶戈罗夫定理保证）。反之不成立，但依测度收敛的子列可几乎处处收敛（里斯定理）。
   • 与一致收敛：一致收敛蕴含依测度收敛，但逆命题不成立。例如，在 \([0,1]\) 上定义“滑动指示函数” \(f_n(x) = \mathbf{1}_{[0,1/n]}(x)\)，它依勒贝格测度收敛到 \(0\)，但非一致收敛。

3. 基本性质

   • 极限唯一性：若 \(f_n \xrightarrow{\mu} f\) 且 \(f_n \xrightarrow{\mu} g\)，则 \(f = g\) 几乎处处。
   • 线性性：若 \(f_n \xrightarrow{\mu} f\)，\(g_n \xrightarrow{\mu} g\)，则对任意实数 \(a,b\)，有 \(a f_n + b g_n \xrightarrow{\mu} a f + b g\)。
   • 连续性保序：若 \(\phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) 连续，且 \(f_n \xrightarrow{\mu} f\)，则 \(\phi(f_n) \xrightarrow{\mu} \phi(f)\)。

4. 收敛的判定准则

   • 柯西准则：\(\{f_n\}\) 依测度收敛当且仅当对任意 \(\varepsilon, \delta > 0\)，存在 \(N\) 使得当 \(m,n \geq N\) 时，

\[ \mu\left(\{x : |f_n(x) - f_m(x)| \geq \varepsilon\}\right) < \delta. \]

• 子列性质：若 \(\{f_n\}\) 的任意子列均有进一步子列依测度收敛到同一极限 \(f\)，则 \(f_n \xrightarrow{\mu} f\)。

5. 与积分的联系
   若 \(f_n \xrightarrow{\mu} f\) 且存在可积函数 \(g\) 使得 \(|f_n| \leq g\)，则由勒贝格控制收敛定理，\(\int f_n \, d\mu \to \int f \, d\mu\)。若无控制函数，积分可能不收敛（例如 \(f_n = n \mathbf{1}_{[0,1/n]}\) 在 \([0,1]\) 上）。