随机变量的变换的Jeffreys先验 我将为您详细讲解Jeffreys先验这一重要的概率统计概念，让我们从基础开始逐步深入。 Jeffreys先验是贝叶斯统计中一种重要的无信息先验，由英国统计学家Harold Jeffreys提出。它的核心思想是构建一个在参数变换下保持不变的先验分布。 第一步：理解无信息先验的需求 在贝叶斯统计中，当我们对参数没有任何先验信息时，需要选择一个"无信息"的先验。理想的先验应该不偏向任何特定的参数值，同时在不同参数化下保持一致性。 第二步：Fisher信息量的引入 Jeffreys先验基于Fisher信息量。对于参数θ，Fisher信息量定义为： I(θ) = -E[ ∂²log f(X|θ)/∂θ² ] 其中期望是对观测数据X的分布求取的。Fisher信息量度量了观测数据携带关于参数θ的信息量。 第三步：Jeffreys先验的定义 对于单参数情形，Jeffreys先验定义为： π(θ) ∝ √I(θ) 这个先验与Fisher信息量的平方根成正比。 第四步：不变性性质的理解 Jeffreys先验的关键特性是参数化不变性。如果我们将参数从θ变换为φ = g(θ)，那么新的先验满足： π(φ) = π(θ) |dθ/dφ| 这意味着推断结果不依赖于参数的具体表示形式。 第五步：多参数情形的推广 对于多参数θ = (θ₁, θ₂, ..., θₖ)，Jeffreys先验定义为： π(θ) ∝ √det(I(θ)) 其中I(θ)是Fisher信息矩阵，det表示行列式。 第六步：具体例子分析 考虑伯努利分布的成功概率参数p，其Fisher信息量为： I(p) = 1/[ p(1-p) ] 因此Jeffreys先验为： π(p) ∝ 1/√[ p(1-p) ] 这是一个Beta(1/2, 1/2)分布。 第七步：实际应用考虑 Jeffreys先验在实际应用中需要注意： 可能是非正常的（积分不为1） 在多参数情形下可能产生不理想的性质 需要验证后验分布是正常的 第八步：与其它先验的比较 与均匀先验相比，Jeffreys先验在参数变换下具有更好的性质。例如对于正态分布的标准差σ，Jeffreys先验是π(σ) ∝ 1/σ，这反映了在log尺度上的均匀性。 这个先验分布为贝叶斯分析提供了一个理论基础坚实的起点，特别是在缺乏先验信息的情况下。