模的Ext函子 我们先从模同态的基本概念开始。考虑两个模 \(M\) 和 \(N\)（在同一个环 \(R\) 上）。所有从 \(M\) 到 \(N\) 的 \(R\)-模同态构成一个集合，记作 \(\text{Hom}_ R(M, N)\)。这个集合本身可以赋予一个阿贝尔群结构（通过同态的点态加法），有时甚至能成为一个模（取决于 \(R\) 的性质）。 接下来，我们需要理解“投射分解”的概念。一个模 \(P\) 称为投射模，如果对于任意满同态 \(f: M \to N\) 和任意同态 \(g: P \to N\)，都存在一个同态 \(h: P \to M\) 使得 \(g = f \circ h\)。直观地说，投射模在同态映射下具有“提升”性质。对于一个模 \(M\)，它的一个投射分解是指一个正合序列： \[ \cdots \to P_ 2 \to P_ 1 \to P_ 0 \to M \to 0 \] 其中每个 \(P_ i\) 都是投射模。这个序列可以看作是使用“简单”（投射）的模来逐步逼近 \(M\) 的过程。 现在，我们考虑将 \(\text{Hom}\) 函子作用于这个投射序列上（但需要去掉 \(M\) 本身）。具体来说，对给定的模 \(N\)，我们考虑函子 \(\text{Hom}_ R(-, N)\)。将这个函子作用于截断的投射序列： \[ \cdots \to P_ 2 \to P_ 1 \to P_ 0 \to 0 \] （注意这里去掉了 \(M \to 0\)，因为 \(\text{Hom}_ R(-, N)\) 是一个反变函子，我们需要调整序列的方向）。我们得到一个链复形： \[ 0 \to \text{Hom}_ R(P_ 0, N) \to \text{Hom}_ R(P_ 1, N) \to \text{Hom}_ R(P_ 2, N) \to \cdots \] 然而，由于 \(\text{Hom}_ R(-, N)\) 不是正合函子（它只保持左正合性），这个序列一般不再是正合的。它的同调群就包含了重要的信息。 Ext 函子就是通过计算这个序列的同调群来定义的。具体地，对于每个非负整数 \(n\)，我们定义： \[ \text{Ext} R^n(M, N) = H^n\left( \text{Hom} R(P \bullet, N) \right) \] 其中 \(P \bullet\) 是 \(M\) 的一个投射分解。也就是说，\(\text{Ext}_ R^n(M, N)\) 是上述链复形在第 \(n\) 阶的同调群。它度量了 \(\text{Hom}_ R(-, N)\) 函子与正合性之间的“偏差”。 一个关键的性质是，\(\text{Ext}_ R^0(M, N)\) 实际上同构于 \(\text{Hom}_ R(M, N)\)。对于 \(n \geq 1\)，\(\text{Ext}_ R^n(M, N)\) 描述了模扩张的性质。具体来说，\(\text{Ext}_ R^1(M, N)\) 的元素对应于 \(M\) 被 \(N\) 的扩张的等价类，即短正合序列： \[ 0 \to N \to E \to M \to 0 \] 的等价类。更高阶的 Ext 群则对应更复杂的扩张结构。 最后，Ext 函子可以通过多种方式计算，例如也可以使用内射分解来定义。它在同调代数中是一个核心工具，用于研究模的扩展性质、刻画环的整体维数，并在代数几何和拓扑中有广泛应用（例如层上同调的计算）。