随机变量的变换的再生核希尔伯特空间方法 我们先从基本概念开始。再生核希尔伯特空间（RKHS）是一个函数空间，其中每个点值泛函都是连续的。这意味着对于空间中的任何函数 f 和任何点 x，映射 f → f(x) 是连续的。这种性质使得RKHS在统计学和机器学习中特别有用，因为它允许我们用内积来表示函数在点的取值。 接下来，我们考虑正定核。一个对称函数 k: X × X → ℝ 称为正定核，如果对任何有限点集 {x₁, ..., xₙ} ⊂ X 和实数 c₁, ..., cₙ，都有 ∑ᵢ∑ⱼ cᵢcⱼk(xᵢ, xⱼ) ≥ 0。每个正定核都唯一对应一个RKHS，这个空间由核函数的线性张成并完成内积 ⟨k(·, x), k(·, y)⟩ = k(x, y) 得到。 现在，我们引入核均值嵌入。对于随机变量 X 和正定核 k，我们可以定义其分布的核均值嵌入为 μₓ = 𝔼[ k(·, X) ]。这是一个将概率分布嵌入到RKHS中的操作，使得分布之间的比较可以通过RKHS中的内积或距离来进行。 最大均值差异（MMD）是衡量两个分布差异的重要工具。对于随机变量 X 和 Y，它们的MMD定义为 ∥μₓ - μᵧ∥，即它们在RKHS中嵌入的均值之间的范数距离。当核是特征核时，MMD为0当且仅当两个分布相同。 最后，我们考虑随机变量变换的RKHS方法。当我们对随机变量 X 应用变换 T 得到 Y = T(X) 时，可以在RKHS框架下分析变换对分布的影响。具体来说，变换后的随机变量的核均值嵌入为 μᵧ = 𝔼[ k(·, T(X)) ]，我们可以通过比较 μₓ 和 μᵧ 来研究变换 T 对分布特征的影响。