平行轴定理 平行轴定理是刚体力学中计算转动惯量的重要工具。让我们从基础概念开始，逐步深入理解这个定理。 第一步：转动惯量的基本概念 转动惯量是描述刚体绕轴转动时惯性大小的物理量。对于一个质量为m的质点，它绕某转轴的转动惯量定义为 I = mr²，其中r是质点到转轴的距离。对于连续刚体，转动惯量需要通过积分计算：I = ∫ r² dm。 第二步：质心转动惯量 任何刚体都存在一个特殊的点——质心。刚体绕通过质心的轴（质心轴）的转动惯量称为质心转动惯量，记作I_ cm。这个量是刚体的固有属性，与刚体的质量分布有关。 第三步：平行轴定理的表述 平行轴定理指出：刚体对任意轴的转动惯量I，等于刚体对平行于该轴的质心轴的转动惯量I_ cm，加上刚体质量m与两轴间距离d的平方的乘积。用公式表示为： I = I_ cm + md² 第四步：定理的证明思路 建立坐标系，以质心为原点，z轴为质心轴。设另一平行轴与质心轴的距离为d。在刚体上任取一质量元dm，其到质心轴的距离为r，到平行轴的距离为R。根据几何关系，R² = r² + d² - 2drcosθ。将各质量元的转动惯量积分，交叉项∫ rcosθ dm为零（这是质心的性质），最终得到定理公式。 第五步：应用实例 考虑一根长度为L、质量为m的均匀细杆： 对通过质心且垂直于杆的轴：I_ cm = mL²/12 对通过端点且平行于上述轴的轴：d = L/2 根据平行轴定理：I = I_ cm + md² = mL²/12 + m(L/2)² = mL²/3 这与直接积分计算的结果完全一致。 第六步：定理的物理意义 平行轴定理揭示了转动惯量的可加性。刚体对任意轴的转动惯量可以分解为两部分：反映质量分布的I_ cm和反映轴位置的md²。这大大简化了复杂系统中转动惯量的计算。 第七步：应用条件与限制 平行轴定理只适用于平行轴之间的转动惯量转换。如果两轴不平行，需要使用垂直轴定理或其他方法。此外，定理中的d必须是两平行轴之间的垂直距离。