随机变量的变换的Cramér定理 我将为您详细讲解Cramér定理，这是一个关于大偏差理论的重要结果，描述了独立同分布随机变量和的对数渐近行为。 1. 基本概念铺垫 首先需要理解几个关键概念： 设X₁, X₂, ..., Xₙ是独立同分布的随机变量 令Sₙ = X₁ + X₂ + ... + Xₙ为部分和 记μ = E[ X₁ ]为期望值 大偏差理论关注的是Sₙ/n偏离其期望值μ的概率的衰减速率 2. 大数定律的局限性 根据大数定律，当n→∞时，Sₙ/n → μ（几乎必然收敛）。然而，大数定律只告诉我们收敛性，没有提供关于偏离概率的具体信息。具体来说，对于任意ε > 0，大数定律没有告诉我们P(|Sₙ/n - μ| > ε)以多快的速度趋于0。 3. Cramér定理的核心内容 Cramér定理给出了这个偏离概率的对数渐近行为： 对于任意闭集F ⊆ ℝ，有： lim supₙ→∞ (1/n) log P(Sₙ/n ∈ F) ≤ -inf_ {x∈F} I(x) 对于任意开集G ⊆ ℝ，有： lim infₙ→∞ (1/n) log P(Sₙ/n ∈ G) ≥ -inf_ {x∈G} I(x) 其中I(x)是速率函数。 4. 速率函数的定义 速率函数I(x)定义为累积生成函数的Legendre-Fenchel变换： I(x) = sup_ {θ∈ℝ} [ θx - Λ(θ) ] 其中Λ(θ) = log E[ e^{θX₁} ]是累积生成函数。 5. 速率函数的性质 速率函数具有以下重要性质： I(x) ≥ 0（非负性） I(μ) = 0（在期望处取最小值） I(x)是凸函数 当|x|→∞时，I(x)→∞ 6. 具体计算示例 假设X₁服从均值为μ，方差为σ²的正态分布： 累积生成函数：Λ(θ) = μθ + (σ²θ²)/2 速率函数：I(x) = sup_ {θ} [ θx - μθ - (σ²θ²)/2 ] 通过求导可得最优θ* = (x-μ)/σ² 代入得：I(x) = (x-μ)²/(2σ²) 7. 定理的物理解释 Cramér定理告诉我们，Sₙ/n落在x附近的概率大致为e^{-nI(x)}。这意味着： 偏离期望的事件虽然可能发生，但概率以指数速度衰减 衰减速率由速率函数I(x)决定 I(x)越大，该事件发生的概率越小 8. 应用场景 Cramér定理在以下领域有重要应用： 风险管理和保险数学 通信理论中的错误概率分析 统计物理中的相变理论 假设检验中的错误概率估计 这个定理为大偏差理论奠定了基础，是概率论中连接微观随机性与宏观确定性的重要桥梁。