随机变量的变换的Tauberian定理 Tauberian定理是一类研究函数渐近行为与积分变换之间对应关系的数学定理。在概率论中，它主要应用于通过特征函数、拉普拉斯变换等积分变换来推导随机变量分布的渐近性质。 首先需要理解积分变换与渐近行为的基本联系。设随机变量X的分布函数为F(x)，其拉普拉斯-斯蒂尔切斯变换定义为： φ(s) = ∫₀^∞ e^{-sx} dF(x), s>0 当s→0+时，φ(s)的渐近行为与F(x)在无穷远处的性质密切相关。Tauberian定理建立了这两者之间的精确对应关系。 接下来要掌握Karamata Tauberian定理，这是最基础的Tauberian定理。该定理指出：如果F是非降函数，且当x→∞时，有 F(x) ~ x^ρ L(x)/Γ(1+ρ) (ρ≥0) 其中L是慢变函数，那么当s→0+时，其拉普拉斯变换满足 φ(s) ~ s^{-ρ} L(1/s) 反之亦然。这里的慢变函数L(x)是指对任意t>0，满足lim_ {x→∞} L(tx)/L(x)=1的函数。 然后需要学习在概率论中的具体应用。考虑部分和S_ n = X_ 1+...+X_ n，其中{X_ i}是独立同分布非负随机变量。如果P(X_ i > x) ~ x^{-α}L(x)（α>0），即分布是重尾的，那么通过Tauberian定理可以证明： E[ e^{-sS_ n/n^{1/α}} ] → e^{-cs^α} 这表明规范化部分和收敛到稳定分布。 进一步要了解在更新理论中的应用。设{N(t), t≥0}是更新过程，更新函数U(t)=E[ N(t) ]。如果更新间隔的分布F是非格点的，且满足1-F(x) ~ x^{-β}L(x)，那么由Tauberian定理可得： U(t) ~ t^β/(Γ(1+β)Γ(1-β)L(t)) 当0<β <1 最后需要掌握Tauberian定理的证明思路。核心思想是通过Abel求和与Tauberian条件（如单调性）来建立变换与原函数之间的渐近等价关系。证明通常涉及将积分区域分割，在主要贡献区域应用渐近展开，在边缘区域控制误差。