模的Artin-Rees引理
我将为你详细讲解模论中的重要工具——Artin-Rees引理。这个引理在交换代数和代数几何中有着广泛的应用，特别是在完备化的研究中。
1. 预备知识：分次环与分次模
首先我们需要理解"分次"的概念。一个分次环是一个环R，它可以写成子群的直和：R = ⊕ₙ₌₀^∞ Rₙ，且满足Rₙ·Rₘ ⊆ Rₙ₊ₘ。
类似地，一个分次模M是R-模，可以写成子模的直和：M = ⊕ₙ₌₀^∞ Mₙ，且满足Rₙ·Mₘ ⊆ Mₙ₊ₘ。
2. Rees环的构造
设R是诺特环，I是R的理想。与理想I相关的Rees环定义为：
R[It] = {a₀ + a₁t + a₂t² + ⋯ + aₙtⁿ ∈ R[t] | aᵢ ∈ Iⁱ}
这里t是形式变量，Iⁱ表示理想的i次幂（约定I⁰ = R）。Rees环是分次环，其中(R[It])ₙ = Iⁿtⁿ。
3. 分次模与滤过
设M是R-模，{Mₙ}是M的一个滤过，即M = M₀ ⊇ M₁ ⊇ M₂ ⊇ ⋯ 的子模降链。
这个滤过称为I-滤过，如果对任意n，有I·Mₙ ⊆ Mₙ₊₁。
特别地，如果IⁿM ⊆ Mₙ对所有n成立，称此滤过为I-好滤过。
4. Artin-Rees引理的陈述
现在我们可以给出Artin-Rees引理的精确表述：
设R是诺特环，I是R的理想，M是有限生成R-模，N是M的子模。那么存在正整数k，使得对任意n ≥ k，有：
IⁿM ∩ N = Iⁿ⁻ᵏ(IᵏM ∩ N)
等价地，存在正整数c，使得对任意n ≥ c，有：
IⁿM ∩ N ⊆ Iⁿ⁻ᶜN
5. 引理的证明思路
证明Artin-Rees引理的关键步骤是：
- 考虑与I相关的Rees环R[It]，它是诺特环
- 构造与M的I-滤过相关的分次模
- 利用诺特环上有限生成模的子模也是有限生成的性质
- 通过比较系数得到所需的关系式
6. 重要推论
Artin-Rees引理有几个重要推论：
(1) 如果{Nₙ}是N的I-好滤过，那么{Nₙ ∩ N'}是子模N'的I-好滤过。
(2) 对任意子模N ⊆ M，滤过{IⁿM ∩ N}是N的I-好滤过。
7. 在完备化中的应用
Artin-Rees引理最主要的应用是在模的完备化理论中。设M̂表示M关于I-进拓扑的完备化，则自然映射M → M̂的核是：
⋂ₙ₌₀^∞ (IⁿM)
Artin-Rees引理保证了当R是诺特环且M是有限生成时，这个完备化过程具有良好的函子性质。
8. 几何意义
在代数几何中，Artin-Rees引理对应于形式邻域的性质。它告诉我们，在考虑一个簇在某个子簇附近的"无穷小邻域"时，相关结构具有良好的行为。
这个引理是连接代数和几何的重要桥梁，为研究局部性质和整体性质之间的关系提供了有力工具。