随机变量的变换的Wasserstein距离 我将为您详细讲解Wasserstein距离这一重要概念。让我们从基础开始，逐步展开。 第一步：距离概念的基础理解 Wasserstein距离（又称地球移动距离）是度量两个概率分布之间差异的一种方法。直观理解是：将一个分布"搬运"成另一个分布所需的最小"工作量"。 想象两个沙堆，形状不同。Wasserstein距离就是回答：将第一个沙堆的沙子重新排列成第二个沙堆的形状，需要移动多远的距离？ 第二步：数学定义的建立 设(Ω,d)是完备可分的度量空间，P和Q是该空间上的两个概率分布。p阶Wasserstein距离定义为： Wₚ(P,Q) = [ inf(∫ d(x,y)ᵖ dπ(x,y)) ]^(1/p) 其中下确界取遍所有边缘分布分别为P和Q的联合分布π（称为耦合）。 第三步：一维情形的简化 在一维实数空间中，Wasserstein距离有简洁表达式。对于分布函数F和G： Wₚ(P,Q) = [ ∫₀¹ |F⁻¹(u) - G⁻¹(u)|ᵖ du ]^(1/p) 其中F⁻¹和G⁻¹是分位数函数。这大大简化了计算。 第四步：主要性质分析 Wasserstein距离具有以下关键性质： 非负性：Wₚ(P,Q) ≥ 0，等号成立当且仅当P=Q 对称性：Wₚ(P,Q) = Wₚ(Q,P) 三角不等式：Wₚ(P,R) ≤ Wₚ(P,Q) + Wₚ(Q,R) 对平移和伸缩的相容性 第五步：与其它距离的比较 与总变差距离、KL散度相比，Wasserstein距离的优势在于： 能反映分布间的"几何"关系 对支撑集不重叠的分布仍能给出有意义的距离 对分布的微小平移更敏感 第六步：最优输运理论框架 Wasserstein距离源于最优输运理论。考虑将质量从分布P输运到分布Q，寻找成本最小的方案。Wasserstein距离就是这个最小输运成本。 第七步：实际计算考虑 实际中计算Wasserstein距离的方法包括： 一维情形：直接使用分位数函数公式 离散分布：转化为线性规划问题 高维情形：使用Sinkhorn算法等近似方法 第八步：应用场景举例 Wasserstein距离在以下领域有重要应用： 生成对抗网络(GANs)中的损失函数 分布鲁棒优化 图像处理和计算机视觉 计算生物学中的分布比较 这个距离概念因其良好的几何直观性和数学性质，在现代概率论和机器学习中发挥着越来越重要的作用。