特征子空间 我们先从线性代数中的基本概念出发。考虑一个线性空间 \( V \) 和一个线性变换 \( T: V \to V \)。如果存在标量 \( \lambda \) 和非零向量 \( v \) 使得 \( T(v) = \lambda v \)，则称 \( \lambda \) 是 \( T \) 的一个特征值，\( v \) 是相应的特征向量。 现在，对于给定的特征值 \( \lambda \)，所有满足 \( T(v) = \lambda v \) 的向量 \( v \) 构成一个集合。这个集合不仅包含零向量，还包含所有相应的特征向量。可以验证，这个集合是 \( V \) 的一个子空间，因为它对加法和数乘封闭。这个子空间称为特征值 \( \lambda \) 对应的特征子空间，记作 \( V_ \lambda \)。 更一般地，特征子空间 \( V_ \lambda \) 可以定义为线性变换 \( T - \lambda I \) 的核，即 \( V_ \lambda = \ker(T - \lambda I) \)，其中 \( I \) 是恒等变换。因此，特征子空间的维数就是 \( T - \lambda I \) 的零度，这也称为特征值 \( \lambda \) 的几何重数。 特征子空间的一个重要性质是，不同特征值对应的特征子空间是线性无关的。也就是说，如果 \( \lambda_ 1, \lambda_ 2, \dots, \lambda_ k \) 是 \( T \) 的互不相同的特征值，那么和 \( V_ {\lambda_ 1} + V_ {\lambda_ 2} + \dots + V_ {\lambda_ k} \) 是直和。这意味着每个向量在这个和中的表示方式是唯一的。 在线性变换的矩阵表示中，如果存在一组基由特征向量构成，那么矩阵可以对角化。此时，每个特征子空间的维数等于相应特征值的代数重数（即特征多项式中 \( (x - \lambda) \) 的幂次）。如果对于某个特征值，几何重数小于代数重数，则矩阵不可对角化，此时需要进一步考虑广义特征子空间。 广义特征子空间是特征子空间的推广，定义为 \( \ker((T - \lambda I)^m) \)，其中 \( m \) 是足够大的整数。广义特征子空间包含了所有广义特征向量，并且在研究矩阵的若尔当标准形中起到关键作用。 特征子空间的概念在矩阵分解、微分方程求解、以及更广泛的算子理论中都有重要应用。通过研究特征子空间，我们可以更好地分析线性变换的结构和性质。