博赫纳-里斯公式

让我循序渐进地讲解博赫纳-里斯公式的相关知识：

1. 傅里叶乘子背景
   博赫纳-里斯公式源于傅里叶分析中的乘子理论。考虑ℝⁿ上的傅里叶变换，对于函数f ∈ Lᵖ(ℝⁿ)，其傅里叶变换记为Ff。我们希望研究形如Tₘf = F⁻¹(mFf)的算子，其中m是某个乘子函数。

2. 博赫纳-里斯核定义
   对于0 < δ < ∞，博赫纳-里斯核定义为：
   Kᵟ(x) = (2π)⁻ⁿ∫_{|ξ|<δ} eⁱˣ·ξ dξ
   这个核可以显式计算为：
   Kᵟ(x) = cₙδⁿ Jₙ/₂(δ|x|)/(δ|x|)ⁿ/²
   其中Jᵥ是第一类贝塞尔函数，cₙ是只依赖于维数n的常数。

3. 博赫纳-里斯算子
   博赫纳-里斯算子Sᵟ定义为：
   Sᵟf(x) = (Kᵟ ∗ f)(x) = ∫_{ℝⁿ} Kᵟ(x-y)f(y)dy
   这个算子可以理解为在频率域中以球{|ξ|<δ}为特征函数的乘子对应的卷积算子。

4. 博赫纳-里斯公式的核心内容
   博赫纳-里斯公式研究当δ → ∞时，算子Sᵟ在Lᵖ空间中的收敛性。主要结果是：

• 当p = 2时，Sᵟf在L²中收敛于f
• 当1 < p < ∞且p ≠ 2时，需要更强的条件：sup_{δ>0} ||Sᵟf||ₚ ≤ Cₚ||f||ₚ
• 临界情况p=1和p=∞时，算子族{Sᵟ}在L¹和L∞中不是一致有界的

5. 收敛性结果
   对于f ∈ Lᵖ(ℝⁿ)，1 < p < ∞：

• 当δ → ∞时，Sᵟf在Lᵖ范数下收敛于f
• 几乎处处收敛性也成立：对于几乎所有x ∈ ℝⁿ，lim_{δ→∞} Sᵟf(x) = f(x)

6. 与球面平均的联系
   博赫纳-里斯算子可以表示为球面平均的加权积分：
   Sᵟf(x) = ∫₀ᴿ Aₜf(x)φᵟ(t)dt
   其中Aₜf是f在以x为中心、半径为t的球面上的平均，φᵟ是某个权函数。

7. 应用与推广
   博赫纳-里斯公式在偏微分方程、调和分析和几何测度论中有重要应用，特别是在研究波动方程初值问题和球面求和问题时发挥关键作用。该结果还可推广到更一般的乘子和流形情形。