量子力学中的Eilenberger方程 第一步：超导理论的基本背景 Eilenberger方程是描述超导体内准粒子行为的理论工具，属于微观超导理论（Bardeen-Cooper-Schrieffer理论，即BCS理论）的推广。在BCS理论中，超导能隙函数Δ(𝒓)是均匀的，但实际超导体可能存在无序、杂质或外场，导致Δ(𝒓)在空间变化。此时需要更普适的方程描述非均匀超导态，Eilenberger方程应运而生。 第二步：从BCS理论到Gor’kov方程 BCS理论的量子场论形式由Gor’kov提出，通过格林函数方法将超导序参量与电子关联联系起来。Gor’kov方程是一组耦合的微分方程，包含正常格林函数G(𝒓, 𝒓′, ω)和反常格林函数F(𝒓, 𝒓′, ω)，能描述空间非均匀超导态，但求解复杂（需处理两位置𝒓, 𝒓′的依赖关系）。 第三步：Eilenberger的简化思路 Eilenberger（1968）引入关键简化：针对“脏超导体”（即存在大量非磁性杂质的超导体），假设格林函数在动量空间依赖于费米面方向𝒑_ F，但通过积分消除对能量尺度的细致依赖。具体方法是将Gor’kov方程转换为对费米动量的积分形式，并引入参数化后的格林函数g(𝒓, 𝒑_ F, ω)、f(𝒓, 𝒑_ F, ω)，它们仅依赖空间位置𝒓、费米动量方向𝒑_ F和能量ω。 第四步：Eilenberger方程的形式 方程的核心是沿经典电子轨迹（以费米速度𝒗_ F方向为路径）的演化方程： \[ -i\hbar 𝒗_ F \cdot \nabla_ \boldsymbol{r} \hat{g} = [ \hat{H}, \hat{g} ] \] 其中\(\hat{g}\)是2×2矩阵（Nambu空间），包含正常与反常格林函数，\(\hat{H}\)为超导体的有效哈密顿量，含序参量Δ(𝒓)和杂质散射势。方程本质是格林函数沿𝒗_ F方向的输运方程。 第五步：杂质效应的自洽处理 Eilenberger方程通过自能项包含杂质散射，采用自洽Born近似或T-matrix近似。对于弱散射（Born极限），方程简化为含有散射率1/τ的项；对于强散射（幺正极限），需数值求解。杂质平均后，方程仅依赖空间坐标，显著降低计算复杂度。 第六步：与其他理论的联系 若进一步对能隙函数做梯度展开（Δ(𝒓)缓慢变化），Eilenberger方程可退化为Ginzburg-Landau方程。 在干净极限（无杂质）下，方程还原为Andreev反射描述的界面超导现象。 推广后的Usadel方程是Eilenberger方程在强无序下的扩散近似（适用于脏极限）。 第七步：应用与意义 Eilenberger方程广泛应用于非均匀超导体的边界效应、涡旋态、超导-正常金属界面等问题。它弥补了BCS理论在空间非均匀情形下的不足，且计算效率高于全微观的Gor’kov方程，成为中尺度超导理论的核心工具之一。