平行四边形的面积 （续） 步骤四：面积公式的向量形式 预备知识 ：在平面直角坐标系中，若平行四边形由两个向量 a = (x₁, y₁) 和 b = (x₂, y₂) 所张成，则其面积 S 的数值等于这两个向量构成的向量积（或称叉积）的模长。 向量积的定义 ：在二维空间中，向量 a 和 b 的向量积 a × b 是一个标量（实际上可视为三维空间中 z 轴方向的分量），其计算公式为： a × b = x₁y₂ - x₂y₁。 面积公式 ：因此，平行四边形的面积 S = | a × b | = |x₁y₂ - x₂y₁|。这个公式的绝对值确保了面积为正。 几何解释 ：该行列式的绝对值 |x₁y₂ - x₂y₁| 的几何意义，正是由向量 a 和 b 所构成的平行四边形的面积。这个值与用底乘高公式计算的结果完全一致。 步骤五：面积公式的行列式表示 行列式形式 ：上述向量形式可以简洁地写为二阶行列式的形式：S = |det( a , b )| = |x₁y₂ - x₂y₁|。其中 det( a , b ) 表示由向量 a 和 b 的坐标构成的矩阵的行列式。 性质 ：行列式的值具有反对称性，即 det( a , b ) = -det( b , a )，这反映了面积的方向性（有向面积），取绝对值后则得到纯粹的数值面积。 应用 ：这种表示法在计算由坐标点确定的平行四边形面积时尤为方便。例如，已知三个顶点 A, B, C，求平行四边形 ABDC 的面积，可先计算向量 AB 和 AC 的坐标，再求其行列式的绝对值。