二次型的正交相似 我们先从基础概念开始。一个二次型（在特征不为2的域上）可以写成一个二次齐次多项式，例如 \( Q(x_ 1, \dots, x_ n) = \sum_ {i, j} a_ {ij} x_ i x_ j \)，其中 \( a_ {ij} = a_ {ji} \)。这个多项式可以简洁地用一个对称矩阵 \( A \) 来表示：\( Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} \)，这里 \( \mathbf{x} \) 是变元向量。 现在，考虑一个变量的非退化线性变换 \( \mathbf{x} = P\mathbf{y} \)，其中 \( P \) 是一个可逆矩阵。将这个变换代入二次型，我们得到： \[ Q(\mathbf{x}) = (P\mathbf{y})^T A (P\mathbf{y}) = \mathbf{y}^T (P^T A P) \mathbf{y}。 \] 这个新的二次型 \( \mathbf{y}^T B \mathbf{y} \) 的矩阵是 \( B = P^T A P \)。我们说矩阵 \( A \) 和 \( B \) 是 合同 的。合同关系是一种等价关系，它将所有对称矩阵划分为不同的等价类。同一个合同类中的矩阵表示的是在变量线性替换下“本质相同”的二次型。 那么，什么是正交相似呢？如果我们对变量变换矩阵 \( P \) 施加更强的限制，要求它是一个 正交矩阵 ，即满足 \( P^T = P^{-1} \)，那么合同关系 \( B = P^T A P \) 就变成了 \( B = P^{-1} A P \)。这正是矩阵的 相似 关系。因此， 正交相似 指的是：存在一个正交矩阵 \( P \)，使得 \( B = P^T A P = P^{-1} A P \)。这意味着，在正交变换（即保持内积不变的线性变换）下，矩阵 \( A \) 既合同又相似于 \( B \)。 为什么正交相似是一个重要的概念？关键在于对称矩阵的谱定理（或称主轴定理）。该定理断言：对于任意实对称矩阵 \( A \)，都存在一个正交矩阵 \( P \)，使得 \( P^T A P \) 是一个对角矩阵 \( D \)，对角线上的元素正是 \( A \) 的实特征值。这意味着，任何一个实二次型，总可以通过一个正交变换（相当于旋转或反射坐标系）被化为标准形 \( \lambda_ 1 y_ 1^2 + \lambda_ 2 y_ 2^2 + \dots + \lambda_ n y_ n^2 \)，其中系数 \( \lambda_ i \) 就是原二次型矩阵的特征值。在这个标准形中，不仅交叉项被消除，而且变换是保距的，不改变向量的长度和夹角。 因此，正交相似比一般的合同关系更强。两个对称矩阵正交相似，当且仅当它们有相同的特征值（计入重数）。特征值的集合是正交相似下的完全不变量。在几何上，一个二次型可以表示一个二次曲面（如椭圆、双曲线等），正交相似变换对应于在空间中旋转或反射这个曲面，而不改变其形状，只是改变了它相对于坐标轴的方向。所以，正交相似分类的核心就是对称矩阵的特征值。