对称双线性型 基本定义 对称双线性型是定义在域 \( F \) 上向量空间 \( V \) 上的函数 \( B: V \times V \to F \)，满足以下性质： 双线性性 ：对任意 \( u, v, w \in V \) 和 \( a, b \in F \)， \[ B(au + bv, w) = aB(u, w) + bB(v, w), \quad B(w, au + bv) = aB(w, u) + bB(w, v). \] 对称性 ：对任意 \( u, v \in V \)，\( B(u, v) = B(v, u) \)。 对称性将双线性型与一般双线性映射区分开，并使其与二次型紧密关联。 矩阵表示 设 \( V \) 是有限维向量空间，基为 \( \{e_ 1, \dots, e_ n\} \)。对称双线性型 \( B \) 可表示为对称矩阵 \( A = (a_ {ij}) \)，其中 \( a_ {ij} = B(e_ i, e_ j) \)。 对任意向量 \( u = \sum x_ i e_ i, v = \sum y_ j e_ j \)，有 \[ B(u, v) = \sum_ {i,j} a_ {ij} x_ i y_ j = u^\top A v. \] 基变换下，矩阵 \( A \) 按合同变换 \( A \mapsto P^\top A P \) 变化（\( P \) 为可逆基变换矩阵）。 二次型的关联 每个对称双线性型 \( B \) 对应一个二次型 \( Q: V \to F \)，定义为 \[ Q(v) = B(v, v). \] 反之，若 \( \operatorname{char}(F) \neq 2 \)，可通过极化恒等式从 \( Q \) 恢复 \( B \)： \[ B(u, v) = \frac{1}{2} \left( Q(u+v) - Q(u) - Q(v) \right). \] 这一对应使得对称双线性型与二次型的研究相互转化。 正交性与对角化 向量 \( u, v \) 称为 正交 的，若 \( B(u, v) = 0 \)。 正交基 ：存在一组基 \( \{v_ 1, \dots, v_ n\} \) 使得 \( B(v_ i, v_ j) = 0 \) 对 \( i \neq j \) 成立。此时矩阵 \( A \) 为对角矩阵，且对角元素为 \( B(v_ i, v_ i) \)。 在 \( \operatorname{char}(F) \neq 2 \) 时，总可通过配方法或Gram-Schmidt正交化找到正交基。 秩与核 核 （或奇点空间）定义为 \( \{ v \in V \mid B(v, w) = 0 \ \forall w \in V \} \)。 秩 是 \( B \) 的矩阵在任意基下的秩，等于 \( V \) 模去核的维数。若核为 \( \{0\} \)，则称 \( B \) 是非退化的。 实数与复数域上的分类 实数域 ：由惯性定理，对称双线性型可由符号 \( (p, q) \) 分类，其中 \( p \) 为正特征值的个数，\( q \) 为负特征值的个数（正交基下对角元素为 \( \pm 1 \) 或 \( 0 \)）。 复数域 ：通过缩放可化为对角元素仅为 \( 1 \) 或 \( 0 \) 的标准形，分类仅由秩决定。 应用与推广 对称双线性型是几何（如内积空间、黎曼度量）和数论（如二次型表整数问题）的基础。在模论中可推广为对称双线性形式模，在特征2时需特别处理对称性与交替性。