二次型的惯性定理 我们先从二次型的基本概念开始。一个二次型是齐次二次多项式，例如 \( Q(x_ 1, x_ 2, x_ 3) = 2x_ 1^2 + 4x_ 1x_ 2 - x_ 3^2 \)。任何二次型都可以通过配方法写成纯平方项的和（或差）。例如，\( Q(x, y) = x^2 + 4xy + 3y^2 \) 可以配方为 \( (x+2y)^2 - y^2 \)。 当我们对一个二次型进行变量替换（即坐标变换），我们希望找到最简单的形式。惯性定理研究的是，在实数域上，一个二次型通过可逆的线性变换化简后，其正平方项和负平方项的个数是固定不变的。 具体来说，对于实数域上的二次型，存在可逆线性变换将其化为标准形：\( y_ 1^2 + \cdots + y_ p^2 - y_ {p+1}^2 - \cdots - y_ r^2 \)，其中 \( r \) 是二次型的秩（非零项的个数），\( p \) 是正平方项的个数。惯性定理指出，数对 \( (p, r-p) \) 是二次型的不变量，即无论我们选择何种可逆线性变换进行化简，正惯性指数 \( p \) 和负惯性指数 \( r-p \) 都是唯一确定的。 这个定理的意义在于，它揭示了二次型在坐标变换下的本质特征。例如，一个二次型是正定的（对所有非零向量取值都为正）当且仅当 \( p = r = n \)（变量个数）。惯性定理是实二次型分类的基础。