对称双线性型 我们先从双线性型的基本概念开始。一个双线性型是指一个函数 B: V × V → F，其中 V 是域 F 上的向量空间，并且 B 关于两个变量都是线性的。也就是说，对于任意的 u, v, w ∈ V 和任意的 a, b ∈ F，都有： B(au + bv, w) = aB(u, w) + bB(v, w) B(u, av + bw) = aB(u, v) + bB(u, w) 接下来，我们引入对称性。如果一个双线性型 B 满足对于任意的 v, w ∈ V，都有 B(v, w) = B(w, v)，那么我们就称 B 是一个对称双线性型。对称性是一个很强的条件，它使得双线性型与二次型紧密相关。 现在，我们来看对称双线性型如何用矩阵表示。假设 V 是有限维的，并且我们固定了 V 的一组基 {e₁, e₂, ..., eₙ}。那么，双线性型 B 可以由一个 n×n 矩阵 M 完全确定，这个矩阵的元素定义为 mᵢⱼ = B(eᵢ, eⱼ)。这个矩阵 M 被称为 B 在这组基下的度量矩阵。 由于 B 是对称的，即 B(eᵢ, eⱼ) = B(eⱼ, eᵢ)，所以它的度量矩阵 M 也是一个对称矩阵，满足 Mᵀ = M（这里 Mᵀ 表示 M 的转置）。对于向量 v 和 w，如果我们用坐标列向量 x 和 y 来表示它们（相对于我们选择的基），那么双线性型的值可以简洁地写成矩阵形式：B(v, w) = xᵀ M y。 当我们改变向量空间的基时，度量矩阵会如何变化呢？假设我们有两组基，从旧基到新基的过渡矩阵是 P（即新基向量在旧基下的坐标按列排成矩阵 P）。那么，对称双线性型 B 在新基下的度量矩阵 M‘ 与旧基下的度量矩阵 M 满足合同关系：M’ = Pᵀ M P。这种关系被称为矩阵的合同。重要的是，合同变换保持矩阵的对称性，如果 M 是对称的，那么 M‘ 也是对称的。 对称双线性型的一个重要不变量是它的秩。我们定义对称双线性型 B 的秩为其度量矩阵 M 的秩。由于合同变换不改变矩阵的秩（因为 P 是可逆矩阵），所以这个定义是良定义的，即与基的选择无关。秩给出了该双线性型“非退化”程度的信息。 如果一个对称双线性型 B 的秩等于向量空间 V 的维数，那么我们称 B 是非退化的。非退化性等价于说：如果对于所有的 w ∈ V，都有 B(v, w) = 0，那么 v 必须是零向量。换句话说，不存在一个非零向量 v 能与所有向量 w 正交。非退化性在讨论正交补等问题时至关重要。 对于对称双线性型，一个核心概念是正交性。我们称两个向量 v 和 w 是正交的（关于 B），如果 B(v, w) = 0。基于正交性，我们可以定义向量子空间的正交补。对于 V 的一个子空间 W，它的正交补 W^⊥ 定义为所有与 W 中每个向量都正交的向量的集合：W^⊥ = { v ∈ V | 对于所有 w ∈ W，有 B(v, w) = 0 }。 一个特别重要的概念是正交基。如果向量空间 V 存在一组基 {v₁, v₂, ..., vₙ}，使得对于所有 i ≠ j，都有 B(vᵢ, vⱼ) = 0，那么这组基就称为关于 B 的正交基。在这组基下，度量矩阵是一个对角矩阵 diag(λ₁, λ₂, ..., λₙ)，其中 λᵢ = B(vᵢ, vᵢ)。一个关键定理（例如通过配方法或Gram-Schmidt正交化过程推广）指出：在特征不为2的域 F 上，任何对称双线性型都存在正交基。这意味着任何对称矩阵都合同于一个对角矩阵。 最后，对称双线性型与二次型有本质联系。给定一个对称双线性型 B，我们可以定义一个相关的二次型 Q: V → F，定义为 Q(v) = B(v, v)。反过来，在特征不为2的域上，二次型 Q 也唯一地决定了一个对称双线性型 B，它们通过极化恒等式相联系：B(v, w) = (Q(v+w) - Q(v) - Q(w))/2。这种对应关系使得我们可以利用对称双线性型的理论来研究二次型，例如对二次型进行分类。