对称群 我们先从最基础的概念开始。对称群描述了一个集合上所有可能的排列（即双射）所构成的代数结构。 排列的定义 设 \( X \) 是一个非空集合。一个从 \( X \) 到其自身的双射（既单又满的函数）\( \sigma: X \to X \) 被称为 \( X \) 的一个 排列 。直观上，一个排列就是对集合 \( X \) 中的元素进行重新排列的一种方式。 对称群的定义 集合 \( X \) 上所有排列的集合，在映射的复合运算下，构成一个群。这个群被称为 \( X \) 的 对称群 ，记作 \( S_ X \)。 封闭性 ：两个排列复合后仍然是 \( X \) 上的一个排列（双射）。 结合律 ：映射的复合天然满足结合律。 单位元 ：恒等排列 \( \text{id}(x) = x \) 是单位元。 逆元 ：每个双射都有唯一的逆映射，它也是一个排列。 当 \( X \) 是有限集时，我们通常取 \( X = \{1, 2, \dots, n\} \)。此时 \( X \) 的对称群记作 \( S_ n \)，称为 n 次对称群 。\( S_ n \) 的阶（元素个数）是 \( n ! \)。 置换的表示法：轮换记法 对于有限对称群 \( S_ n \)，有一种非常有效的表示排列的方法，称为轮换记法。 轮换 ：一个形如 \( (i_ 1, i_ 2, \dots, i_ k) \) 的记号表示一个排列，它把 \( i_ 1 \) 映到 \( i_ 2 \)，把 \( i_ 2 \) 映到 \( i_ 3 \)，……，把 \( i_ {k-1} \) 映到 \( i_ k \)，最后把 \( i_ k \) 映回 \( i_ 1 \)。而集合中其他不被列出的元素保持不变。\( k \) 被称为这个轮换的 长度 。 对换 ：长度为 2 的轮换称为对换，例如 \( (i, j) \) 表示交换 \( i \) 和 \( j \) 的位置。 分解为不相交轮换 ：\( S_ n \) 中的任何一个排列都可以唯一地（忽略轮换顺序）分解成若干个互不相交（没有公共元素）的轮换的乘积。例如，\( S_ 5 \) 中的排列 \( \sigma \)：\( \sigma(1)=3, \sigma(3)=1, \sigma(2)=4, \sigma(4)=5, \sigma(5)=2 \)，可以表示为 \( (1\ 3)(2\ 4\ 5) \)。 置换的奇偶性 这是一个对称群的核心概念。我们可以将任何轮换进一步分解为对换的乘积（这种分解不唯一）。例如，\( (1\ 2\ 3) = (1\ 3)(1\ 2) \)。 关键定理 ：虽然一个排列分解成对换的方式有很多种，但所有分解方式中对换个数的 奇偶性 （是奇数还是偶数）是相同的。 奇置换与偶置换 ：如果一个排列可以分解成偶数个对换的乘积，则称其为 偶置换 ；如果可以分解成奇数个对换的乘积，则称其为 奇置换 。 交错群 ：\( S_ n \) 中所有偶置换构成 \( S_ n \) 的一个子群，这个子群称为 n 次交错群 ，记作 \( A_ n \)。\( A_ n \) 的阶是 \( n!/2 \)，并且是一个 正规子群 。 对称群的生成元与关系 我们可以用很少的元素来“生成”整个对称群。 对换生成元 ：整个对称群 \( S_ n \) 可以由所有的对换生成。更经济地，它甚至可以仅由相邻对换 \( (1\ 2), (2\ 3), \dots, (n-1\ n) \) 生成。 轮换生成元 ：\( S_ n \) 也可以由一个对换和一个长轮换生成，例如 \( s = (1\ 2) \) 和 \( t = (1\ 2\ \dots\ n) \)。它们满足一组定义关系：\( s^2 = e \)，\( t^n = e \)，以及 \( (st)^{n-1} = e \)（这里 \( e \) 是单位元）。这体现了对称群可以被抽象地定义为由满足这些关系的元素生成的群。 对称群在数学中的重要性 对称群是有限群理论的基础和原型。 Cayley 定理 ：任何有限群都同构于某个对称群的子群。这意味着对称群包含了所有有限群的“对称结构”。 方程的可解性 ：一个多项式方程能否用根式求解，取决于其伽罗瓦群的性质。而伽罗瓦群是多项式根的对称群的一个子群。当次数 \( n \geq 5 \) 时，\( S_ n \) 不是可解群，这直接导致了五次及以上一般方程没有根式解（阿贝尔-鲁菲尼定理）。 表示论 ：研究对称群的线性表示（即群同态 \( \rho: S_ n \to GL(V) \)，其中 \( V \) 是向量空间）是表示论的核心内容，与组合数学、李理论等领域紧密相连。