遍历理论中的随机动力系统 基本定义与动机 随机动力系统是经典确定性动力系统的推广。在确定性系统中，演化规律是固定的（例如由微分方程或映射给出）。而在随机动力系统中，演化规律在每个时间步都受到一个随机扰动。数学上，一个（离散时间）随机动力系统由两部分构成： 基础动力系统 ：一个概率空间上的保测变换 θ，表示随机环境的演化（例如，θ 可以是移位映射）。 随机映射 ：一族依赖于环境状态的可测映射。具体地，考虑乘积空间 Ω × X，其中 Ω 是环境空间，X 是状态空间。随机动力系统由一個可测映射 Φ: Ω × X → X 定义，记 Φ_ ω(x) = Φ(ω, x)。系统的演化是：从初始状态 x_ 0 和初始环境 ω 开始，下一步状态是 x_ 1 = Φ_ ω(x_ 0)，同时环境演变为 θ(ω)。再下一步状态是 x_ 2 = Φ_ {θω}(x_ 1) = Φ_ {θω} ∘ Φ_ ω(x_ 0)，以此类推。 随机映射的迭代与斜积 随机动力系统在时间 n 的演化由随机映射的迭代给出： Φ_ ω^(n) = Φ_ {θ^(n-1)ω} ∘ ... ∘ Φ_ {θω} ∘ Φ_ ω 这个过程可以通过一个称为 斜积 的确定性系统来研究。我们构造一个新的状态空间 Ω × X，并定义斜积变换 Θ: Ω × X → Ω × X 为： Θ(ω, x) = (θ(ω), Φ_ ω(x)) 这样，随机动力系统的演化就被“提升”为了一个定义在扩展空间上的确定性动力系统。 不变测度 随机动力系统理论的核心是研究其不变测度。一个概率测度 μ 在状态空间 X 上被称为是 随机不变的 ，如果它满足： ∫ Ω (Φ_ ω) * μ dP(ω) = μ 这里 P 是环境空间 Ω 上的概率测度（通常假设 θ 是保 P 的），(Φ_ ω)_ * μ 表示测度 μ 在映射 Φ_ ω 下的推前测度。这个等式的含义是：如果你从分布 μ 中随机选取一个初始状态 x，并施加一个随机映射 Φ_ ω（ω 按 P 分布），那么下一刻状态的分布平均值仍然是 μ。如果我们在斜积空间 Ω × X 上考虑乘积测度 P × μ，那么随机不变性等价于这个乘积测度在斜积变换 Θ 下是不变的。 随机遍历定理 类似于确定性系统，随机动力系统也有其遍历定理。设 μ 是一个随机不变测度，且 P × μ 是 Θ-不变的。对于一个函数 f ∈ L^1(X, μ)，考虑时间平均 (1/N) Σ_ {k=0}^{N-1} f(Φ_ ω^(k)(x))。随机遍历定理断言，对于 P-几乎所有的 ω 和 μ-几乎所有的 x，这个时间平均收敛。其极限是一个函数 f^ ，它关于随机动力系统的不变 σ-代数是可测的，并且满足 ∫ f^ dμ = ∫ f dμ。 随机双曲性与随机稳定流形定理 这是确定性双曲系统理论的随机推广。一个随机动力系统被称为是 随机双曲的 ，如果对于几乎所有的环境轨道 ω，其线性化系统（导数映射的随机乘积）表现出非零的李雅普诺夫指数。这意味着在状态空间的几乎每一点，存在随机的稳定和不稳定方向。 随机稳定流形定理 则断言，通过几乎每个点，存在光滑的局部不变流形（稳定流形和不稳定流形），这些流形在随机映射的作用下以指数速度收缩或扩张。这些流形的存在是研究随机系统长期行为（如随机混沌、随机吸引子）的关键工具。 应用：随机吸引子 随机吸引子是随机动力系统理论中的一个重要概念。它是一个随机的紧集 A(ω) ⊂ X，满足： 不变性 : Φ_ ω(A(ω)) = A(θω) 对于几乎所有的 ω 成立。 吸引性 : 对于 X 中的有界集 D，当 n → ∞ 时，Φ_ θ^{-n}ω^(n)(D) 到 A(ω) 的距离几乎必然趋于零。 随机吸引子捕获了系统受随机扰动后的长期渐近状态。在随机双曲系统中，随机吸引子通常具有分形结构，并且可以支持一个唯一的“物理的”随机不变测度（SRB测量），该测度描述了吸引子上的渐近分布。