曲面的基本形式 我们先从曲面的基本表示开始。一个曲面可以由参数方程描述：设 \( \mathbf{r}(u, v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) \) 是曲面上的点的位置向量，其中 \( u \) 和 \( v \) 是参数。 曲面的第一基本形式（或度量形式）衡量了曲面上的弧长和角度。它定义为： \[ \mathrm{I} = d\mathbf{r} \cdot d\mathbf{r} = E du^2 + 2F du dv + G dv^2 \] 其中系数 \( E = \mathbf{r}_ u \cdot \mathbf{r}_ u \)，\( F = \mathbf{r}_ u \cdot \mathbf{r}_ v \)，\( G = \mathbf{r}_ v \cdot \mathbf{r}_ v \) 是曲面的第一基本量。这里 \( \mathbf{r}_ u \) 和 \( \mathbf{r}_ v \) 是偏导数。第一基本形式完全由曲面的内蕴几何决定，例如，曲面上一条曲线 \( (u(t), v(t)) \) 的弧长微元 \( ds \) 满足 \( ds^2 = E du^2 + 2F du dv + G dv^2 \)。 曲面的第二基本形式描述了曲面在空间中的弯曲程度。它定义为： \[ \mathrm{II} = -d\mathbf{r} \cdot d\mathbf{n} = L du^2 + 2M du dv + N dv^2 \] 其中 \( \mathbf{n} \) 是曲面的单位法向量，系数 \( L = \mathbf{r} {uu} \cdot \mathbf{n} \)，\( M = \mathbf{r} {uv} \cdot \mathbf{n} \)，\( N = \mathbf{r}_ {vv} \cdot \mathbf{n} \) 是第二基本量。第二基本形式衡量了曲面点附近相对于切平面的偏离。 曲面的第三基本形式与曲面的球面表示有关，定义为： \[ \mathrm{III} = d\mathbf{n} \cdot d\mathbf{n} \] 它描述了单位法向量在单位球面上轨迹的度量性质。 这三个基本形式通过曲面的主曲率 \( k_ 1 \) 和 \( k_ 2 \) 相关联。具体地，若 \( k_ 1 \) 和 \( k_ 2 \) 是主曲率，则有以下恒等式： \[ \mathrm{II} = k_ 1 \mathrm{I}_ 1 + k_ 2 \mathrm{I}_ 2 \quad (\text{在主轴坐标系下}) \] 更一般地，三个基本形式满足： \[ \mathrm{III} - 2H \mathrm{II} + K \mathrm{I} = 0 \] 其中 \( H \) 是平均曲率，\( K \) 是高斯曲率。这个关系反映了曲面的局部几何性质。 理解曲面的基本形式是研究曲面微分几何的基础，它们共同刻画了曲面的内蕴和外在几何特征。