平行曲面的概念与性质

字数 3125 2025-11-11 17:35:30

好的，我们开始学习一个新的几何学词条。

平行曲面的概念与性质

我们先从一个你已经熟悉的概念——圆的法线——开始。在一个圆上，每一点都有一个指向圆心的法线。现在，想象一下，我们不是仅仅考虑圆本身，而是考虑一个更一般的平滑曲线（或曲面）。

第一步：从曲线到平行曲线

定义一条平面曲线：设有一条平滑的平面曲线 \(C\)，其参数方程为 \(\vec{r}(s) = (x(s), y(s))\)，其中 \(s\) 是曲线的弧长参数。使用弧长参数的好处是，曲线的切向量 \(\vec{T}(s) = \frac{d\vec{r}}{ds}\) 是单位长度。
曲线的法向量：在平面中，对于单位切向量 \(\vec{T}(s)\)，我们可以通过逆时针旋转90度，唯一地确定一个单位法向量 \(\vec{N}(s)\)。（对于曲线，通常选择指向曲线弯曲一侧的法向量，即曲率中心所在的方向，这被称为主法线。在平面情形下，这就是我们通常说的法线）。
构造平行曲线：现在，我们沿着曲线 \(C\) 上每一点的法线方向，向外（或向内）移动一个固定的距离 \(d\)。这些新的点的轨迹就构成了一条新的曲线 \(C_d\)。这条新曲线 \(C_d\) 就被称为原曲线 \(C\) 的平行曲线（或等距线）。
数学表达式：平行曲线 \(C_d\) 的参数方程可以很容易地写出来：

\[ \vec{r_d}(s) = \vec{r}(s) + d \cdot \vec{N}(s) \]

当 \(d > 0\) 时，曲线向外偏移；当 \(d < 0\) 时，曲线向内偏移。

第二步：平行曲线的简单性质

切向量关系：我们对平行曲线的方程求导（对弧长 \(s\) 求导）：

\[ \frac{d\vec{r_d}}{ds} = \frac{d\vec{r}}{ds} + d \cdot \frac{d\vec{N}}{ds} \]

根据弗勒内-塞雷公式（Frenet–Serret formulas）的平面版本，我们知道 \(\frac{d\vec{N}}{ds} = -\kappa(s) \vec{T}(s)\)，其中 \(\kappa(s)\) 是曲线 \(C\) 在 \(s\) 处的曲率。
代入上式：

\[ \frac{d\vec{r_d}}{ds} = \vec{T}(s) + d \cdot (-\kappa(s) \vec{T}(s)) = (1 - d \cdot \kappa(s)) \vec{T}(s) \]

这个结果表明，平行曲线 \(C_d\) 的切向量方向与原曲线 \(C\) 的切向量方向是平行的（最多相差一个符号）。这正是“平行曲线”名称的由来——两条曲线上对应点的切线互相平行。

一个潜在的问题：从上面的导数表达式我们看到，其大小是 \(|1 - d \cdot \kappa(s)|\)。如果原曲线的曲率 \(\kappa(s)\) 在某些点很大，使得 \(1 - d \cdot \kappa(s) = 0\)，那么平行曲线在该点的导数就为零。这意味着平行曲线在这些点可能出现奇点（例如尖点）。例如，一个圆的平行曲线（等距圆）总是光滑的，但一条直线的平行曲线（另一条直线）也是光滑的，而对于一个椭圆，当偏移距离足够大时，其内侧的平行曲线就会产生尖点。

第三步：从曲线推广到曲面——平行曲面

现在我们将二维平面中的“平行曲线”概念，推广到三维空间中的“平行曲面”。

定义一个曲面：设 \(S\) 是一个三维空间中的光滑曲面，其参数方程为 \(\vec{r}(u, v)\)。
曲面的法向量：在曲面 \(S\) 上的每一点，都有一个单位法向量 \(\vec{N}(u, v)\)。（对于封闭曲面，通常选择指向外侧的法向量）。
构造平行曲面：与曲线的情形完全类似，我们沿着曲面 \(S\) 上每一点的法向量方向，向外（或向内）移动一个固定的距离 \(d\)。这些新的点的轨迹就构成了一个新的曲面 \(S_d\)。这个新曲面 \(S_d\) 就被称为原曲面 \(S\) 的平行曲面。
数学表达式：平行曲面 \(S_d\) 的参数方程为：

\[ \vec{r_d}(u, v) = \vec{r}(u, v) + d \cdot \vec{N}(u, v) \]

第四步：平行曲面的基本几何量（第一基本形式）

曲面的第一基本形式（或称度量形式）描述了曲面上的弧长、角度等内在几何性质。它由三个系数 \(E, F, G\) 决定。

原曲面的第一基本形式：设原曲面 \(S\) 的第一基本形式为：

\[ I = Edu^2 + 2Fdudv + Gdv^2 \]

其中 \(E = \vec{r_u} \cdot \vec{r_u}, F = \vec{r_u} \cdot \vec{r_v}, G = \vec{r_v} \cdot \vec{r_v}\)。

平行曲面的第一基本形式：我们需要计算平行曲面 \(S_d\) 的切向量 \(\vec{r_d}_u\) 和 \(\vec{r_d}_v\)。
\begin{align*}
\vec{r_d}u &= \frac{\partial}{\partial u}(\vec{r} + d\vec{N}) = \vec{r_u} + d\vec{N_u} \
\vec{r_d}v &= \frac{\partial}{\partial v}(\vec{r} + d\vec{N}) = \vec{r_v} + d\vec{N_v}
\end{align*}
根据微分几何中的魏因加滕公式（Weingarten equations），法向量的偏导数 \(\vec{N_u}, \vec{N_v}\) 可以表示为切向量的线性组合，系数与第二基本形式的系数 \(L, M, N\) 和第一基本形式的系数有关。具体地，有：
\begin{align*}
\vec{N_u} &= a{11} \vec{r_u} + a{12} \vec{r_v} \
\vec{N_v} &= a_{21} \vec{r_u} + a_{22} \vec{r_v}
\end{align*}
其中矩阵 \((a_{ij})\) 实际上是形状算子（-第二基本形式矩阵乘以第一基本形式矩阵的逆）。经过计算（此处略去详细矩阵运算），我们可以得到平行曲面 \(S_d\) 的第一基本形式的系数 \(E_d, F_d, G_d\) 与原曲面 \(S\) 的第一基本形式和第二基本形式的关系。一个更深刻且优美的结论是：

平行曲面 \(S_d\) 的第一基本形式与原曲面 \(S\) 的第一基本形式只差一个标量因子，如果原曲面 \(S\) 是常曲率曲面（如球面、平面），那么它们的平行曲面在度量上是相似的。但对于一般曲面，这个关系要复杂得多，并且平行曲面 \(S_d\) 的度量性质（如高斯曲率）会发生变化。

这个主题可以继续深入探讨平行曲面的高斯曲率、平均曲率与原曲面的关系，以及其在几何造型和偏移曲面加工中的应用。本次讲解旨在建立起平行曲线到平行曲面的核心概念和基本构造方法。

好的，我们开始学习一个新的几何学词条。平行曲面的概念与性质我们先从一个你已经熟悉的概念——圆的法线——开始。在一个圆上，每一点都有一个指向圆心的法线。现在，想象一下，我们不是仅仅考虑圆本身，而是考虑一个更一般的平滑曲线（或曲面）。第一步：从曲线到平行曲线定义一条平面曲线：设有一条平滑的平面曲线 \( C \)，其参数方程为 \( \vec{r}(s) = (x(s), y(s)) \)，其中 \( s \) 是曲线的弧长参数。使用弧长参数的好处是，曲线的切向量 \( \vec{T}(s) = \frac{d\vec{r}}{ds} \) 是单位长度。曲线的法向量：在平面中，对于单位切向量 \( \vec{T}(s) \)，我们可以通过逆时针旋转90度，唯一地确定一个单位法向量 \( \vec{N}(s) \)。（对于曲线，通常选择指向曲线弯曲一侧的法向量，即曲率中心所在的方向，这被称为主法线。在平面情形下，这就是我们通常说的法线）。构造平行曲线：现在，我们沿着曲线 \( C \) 上每一点的法线方向，向外（或向内）移动一个固定的距离 \( d \)。这些新的点的轨迹就构成了一条新的曲线 \( C_ d \)。这条新曲线 \( C_ d \) 就被称为原曲线 \( C \) 的平行曲线（或等距线）。数学表达式：平行曲线 \( C_ d \) 的参数方程可以很容易地写出来： \[ \vec{r_ d}(s) = \vec{r}(s) + d \cdot \vec{N}(s) \] 当 \( d > 0 \) 时，曲线向外偏移；当 \( d < 0 \) 时，曲线向内偏移。第二步：平行曲线的简单性质切向量关系：我们对平行曲线的方程求导（对弧长 \( s \) 求导）： \[ \frac{d\vec{r_ d}}{ds} = \frac{d\vec{r}}{ds} + d \cdot \frac{d\vec{N}}{ds} \] 根据弗勒内-塞雷公式（Frenet–Serret formulas）的平面版本，我们知道 \( \frac{d\vec{N}}{ds} = -\kappa(s) \vec{T}(s) \)，其中 \( \kappa(s) \) 是曲线 \( C \) 在 \( s \) 处的曲率。代入上式： \[ \frac{d\vec{r_ d}}{ds} = \vec{T}(s) + d \cdot (-\kappa(s) \vec{T}(s)) = (1 - d \cdot \kappa(s)) \vec{T}(s) \] 这个结果表明，平行曲线 \( C_ d \) 的切向量方向与原曲线 \( C \) 的切向量方向是平行的（最多相差一个符号）。这正是“平行曲线”名称的由来——两条曲线上对应点的切线互相平行。一个潜在的问题：从上面的导数表达式我们看到，其大小是 \( |1 - d \cdot \kappa(s)| \)。如果原曲线的曲率 \( \kappa(s) \) 在某些点很大，使得 \( 1 - d \cdot \kappa(s) = 0 \)，那么平行曲线在该点的导数就为零。这意味着平行曲线在这些点可能出现奇点（例如尖点）。例如，一个圆的平行曲线（等距圆）总是光滑的，但一条直线的平行曲线（另一条直线）也是光滑的，而对于一个椭圆，当偏移距离足够大时，其内侧的平行曲线就会产生尖点。第三步：从曲线推广到曲面——平行曲面现在我们将二维平面中的“平行曲线”概念，推广到三维空间中的“平行曲面”。定义一个曲面：设 \( S \) 是一个三维空间中的光滑曲面，其参数方程为 \( \vec{r}(u, v) \)。曲面的法向量：在曲面 \( S \) 上的每一点，都有一个单位法向量 \( \vec{N}(u, v) \)。（对于封闭曲面，通常选择指向外侧的法向量）。构造平行曲面：与曲线的情形完全类似，我们沿着曲面 \( S \) 上每一点的法向量方向，向外（或向内）移动一个固定的距离 \( d \)。这些新的点的轨迹就构成了一个新的曲面 \( S_ d \)。这个新曲面 \( S_ d \) 就被称为原曲面 \( S \) 的平行曲面。数学表达式：平行曲面 \( S_ d \) 的参数方程为： \[ \vec{r_ d}(u, v) = \vec{r}(u, v) + d \cdot \vec{N}(u, v) \] 第四步：平行曲面的基本几何量（第一基本形式）曲面的第一基本形式（或称度量形式）描述了曲面上的弧长、角度等内在几何性质。它由三个系数 \( E, F, G \) 决定。原曲面的第一基本形式：设原曲面 \( S \) 的第一基本形式为： \[ I = Edu^2 + 2Fdudv + Gdv^2 \] 其中 \( E = \vec{r_ u} \cdot \vec{r_ u}, F = \vec{r_ u} \cdot \vec{r_ v}, G = \vec{r_ v} \cdot \vec{r_ v} \)。平行曲面的第一基本形式：我们需要计算平行曲面 \( S_ d \) 的切向量 \( \vec{r_ d} u \) 和 \( \vec{r_ d} v \)。 \begin{align* } \vec{r_ d} u &= \frac{\partial}{\partial u}(\vec{r} + d\vec{N}) = \vec{r_ u} + d\vec{N_ u} \\ \vec{r_ d} v &= \frac{\partial}{\partial v}(\vec{r} + d\vec{N}) = \vec{r_ v} + d\vec{N_ v} \end{align* } 根据微分几何中的魏因加滕公式（Weingarten equations），法向量的偏导数 \( \vec{N_ u}, \vec{N_ v} \) 可以表示为切向量的线性组合，系数与第二基本形式的系数 \( L, M, N \) 和第一基本形式的系数有关。具体地，有： \begin{align* } \vec{N_ u} &= a {11} \vec{r_ u} + a {12} \vec{r_ v} \\ \vec{N_ v} &= a {21} \vec{r_ u} + a {22} \vec{r_ v} \end{align* } 其中矩阵 \( (a_ {ij}) \) 实际上是形状算子（-第二基本形式矩阵乘以第一基本形式矩阵的逆）。经过计算（此处略去详细矩阵运算），我们可以得到平行曲面 \( S_ d \) 的第一基本形式的系数 \( E_ d, F_ d, G_ d \) 与原曲面 \( S \) 的第一基本形式和第二基本形式的关系。一个更深刻且优美的结论是：平行曲面 \( S_ d \) 的第一基本形式与原曲面 \( S \) 的第一基本形式只差一个标量因子，如果原曲面 \( S \) 是常曲率曲面（如球面、平面），那么它们的平行曲面在度量上是相似的。但对于一般曲面，这个关系要复杂得多，并且平行曲面 \( S_ d \) 的度量性质（如高斯曲率）会发生变化。这个主题可以继续深入探讨平行曲面的高斯曲率、平均曲率与原曲面的关系，以及其在几何造型和偏移曲面加工中的应用。本次讲解旨在建立起平行曲线到平行曲面的核心概念和基本构造方法。