曲面的渐近曲线 让我们从曲面的基本概念开始。想象一个光滑的曲面，比如一个球面或者一个马鞍面。曲面上任意一点P，我们都可以定义一个切平面，这个平面恰好在该点与曲面相切。 现在，考虑曲面在P点处的法曲率。设想一条曲线C位于曲面上，并且经过P点。曲线C在P点有一个切线方向。包含这个切线方向以及曲面在P点的法向量，可以确定一个平面，这个平面与曲面相交，得到一条平面曲线，称为法截线。这条法截线在P点的曲率，就定义为曲面在P点沿着该切线方向的法曲率。 法曲率的值取决于我们选择的切线方向。在P点的切平面内，当我们绕着P点旋转，考虑所有可能的方向时，法曲率的值会发生变化。在微分几何中，有一个重要结论：在任意点P，存在两个相互垂直的方向，使得法曲率分别取得最大值和最小值。这两个方向被称为 主方向 ，对应的法曲率值被称为 主曲率 。 现在，我们可以引入 渐近方向 的概念了。如果一个切线方向对应的法曲率恰好为零，那么这个方向就被称为曲面在该点的一个渐近方向。 为什么法曲率为零是重要的？因为这意味着，沿着这个方向，法截线在P点不是“弯曲”的（曲率为零），它的行为更像是一条直线（在P点的一阶近似）。更准确地说，法截线在P点有一个拐点。 那么，什么是 渐近曲线 呢？如果曲面上的一条曲线，在其上的每一点，它的切线方向都恰好是曲面在该点的渐近方向，那么这条曲线就被称为该曲面的一条渐近曲线。 因此，渐近曲线可以被定义为：曲面上的一条曲线，其上每一点处，曲面沿该曲线切线方向的法曲率为零。 由于法曲率为零，这意味着曲面沿着渐近曲线是“最不弯曲”的。从几何上看，渐近曲线是曲面上最接近直线的曲线。在一个平面上，任意直线都是渐近曲线，因为法曲率处处为零。在可展曲面（如柱面、锥面）上，直母线就是渐近曲线。 如何判断一个方向是渐近方向呢？这涉及到曲面的第二基本形式。第二基本形式II是一个二次型，用于度量曲面相对于切平面的弯曲程度。一个切线方向是渐近方向的充分必要条件是，曲面在该点的第二基本形式II在这个方向上的值为零。 如果曲面在P点的两个主曲率符号相反（即曲面是马鞍形的），那么根据连续函数的性质，在两个主方向之间，必然存在两个方向使得法曲率为零。因此，在双曲点（高斯曲率小于零的点），存在两条不同的渐近曲线通过该点。 如果曲面在P点的两个主曲率符号相同（椭圆点，高斯曲率大于零），那么所有方向的法曲率都同号，不存在使得法曲率为零的实方向。因此，在椭圆点（如球面上的点）没有实渐近曲线。 如果有一个主曲率为零（抛物点），那么只有一个渐近方向（与零主曲率对应的主方向一致）。 总结来说，渐近曲线是曲面上的一类特殊曲线，它揭示了曲面内在的弯曲特性，特别是在双曲区域，渐近曲线构成了一个重要的曲线网。