伽罗瓦群

字数 3660 2025-11-11 16:41:15

伽罗瓦群

我们先从方程求根的基本问题开始。假设我们有一个多项式方程，比如二次方程 \(x^2 - 2 = 0\)。它的根是 \(\sqrt{2}\) 和 \(-\sqrt{2}\)。现在考虑所有由有理数 \(\mathbb{Q}\) 和这两个根通过加、减、乘、除（分母不为零）所能构造出的所有数的集合。这个集合被称为该多项式在 \(\mathbb{Q}\) 上的分裂域，记作 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2}, -\sqrt{2}) = \mathbb{Q}(\sqrt{2})\)。在这个域中，我们的多项式可以“分裂”成一次因式的乘积：\(x^2 - 2 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})\)。

第一步：域自同构的概念
现在，我们观察这个分裂域 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)。它里面的数都具有 \(a + b\sqrt{2}\) 的形式，其中 \(a, b \in \mathbb{Q}\)。我们考虑一种特殊的函数，它能够将整个域 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) 映射到自身，并且保持域的结构不变。这种函数被称为域自同构。具体来说，一个域自同构 \(\sigma: \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \to \mathbb{Q}(\sqrt{2})\) 必须满足以下条件：

\(\sigma(x+y) = \sigma(x) + \sigma(y)\) （保持加法）
\(\sigma(xy) = \sigma(x)\sigma(y)\) （保持乘法）
\(\sigma\) 是一个双射（一一对应且映满）

最关键的一点是，由于自同构保持有理数域 \(\mathbb{Q}\) 上的运算，并且 \(\mathbb{Q}\) 本身没有非平凡的对称性（每个有理数必须映射到自身），所以对于任意有理数 \(q \in \mathbb{Q}\)，我们有 \(\sigma(q) = q\)。也就是说，自同构固定了基域 \(\mathbb{Q}\) 中的每一个元素。

第二步：寻找具体的自同构
那么，对于域 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)，这样的自同构有哪些呢？

恒等自同构：\(\sigma_1(a + b\sqrt{2}) = a + b\sqrt{2}\)。这显然满足条件。
我们需要寻找非平凡的。考虑一个映射 \(\sigma_2\)，它将 \(\sqrt{2}\) 映射为 \(-\sqrt{2}\)，即 \(\sigma_2(a + b\sqrt{2}) = a - b\sqrt{2}\)。
- 我们来验证它是否是自同构：

\(\sigma_2((a+b\sqrt{2}) + (c+d\sqrt{2})) = \sigma_2((a+c) + (b+d)\sqrt{2}) = (a+c) - (b+d)\sqrt{2}\)
\(\sigma_2(a+b\sqrt{2}) + \sigma_2(c+d\sqrt{2}) = (a - b\sqrt{2}) + (c - d\sqrt{2}) = (a+c) - (b+d)\sqrt{2}\)。加法保持。
\(\sigma_2((a+b\sqrt{2}) * (c+d\sqrt{2})) = \sigma_2(ac + 2bd + (ad+bc)\sqrt{2}) = ac + 2bd - (ad+bc)\sqrt{2}\)
\(\sigma_2(a+b\sqrt{2}) * \sigma_2(c+d\sqrt{2}) = (a - b\sqrt{2}) * (c - d\sqrt{2}) = ac - ad\sqrt{2} - bc\sqrt{2} + 2bd = ac + 2bd - (ad+bc)\sqrt{2}\)。乘法保持。
可以证明它也是双射。因此，\(\sigma_2\) 确实是一个域自同构。

那么还有没有其他自同构呢？可以证明，对于 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)，只有这两个自同构：\(\sigma_1\) 和 \(\sigma_2\)。

第三步：伽罗瓦群的定义
现在，我们有了一个自同构的集合 \(\{\sigma_1, \sigma_2\}\)。这个集合有一个非常好的代数结构：它关于映射的复合运算构成一个群。

封闭性：\(\sigma_2 \circ \sigma_2 (a+b\sqrt{2}) = \sigma_2(a - b\sqrt{2}) = a + b\sqrt{2} = \sigma_1(a+b\sqrt{2})\)。所以复合仍在集合内。
结合律：映射复合天然满足结合律。
单位元：恒等自同构 \(\sigma_1\) 就是单位元。
逆元：\(\sigma_2\) 的逆元就是它自己，因为 \(\sigma_2 \circ \sigma_2 = \sigma_1\)。

这个群（包含两个元素）同构于二阶循环群 \(C_2\)。我们就把这个群称为多项式 \(x^2 - 2\)（或者等价地，域扩张 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}\)）的伽罗瓦群，记作 \(\text{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q})\)。

第四步：伽罗瓦群的核心思想与推广
伽罗瓦群的本质是刻画一个域扩张的对称性。在上面的例子中，扩张 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q})\) 的对称性体现在：我们可以“交换” \(\sqrt{2}\) 和 \(-\sqrt{2}\) 这两个根，而整个数域的结构保持不变。伽罗瓦群就是所有这些保持基域不变的对称性（自同构）的集合。

更一般地，对于一个域 \(F\) 和一个多项式 \(f(x) \in F[x]\)，设 \(K\) 是 \(f(x)\) 在 \(F\) 上的分裂域（包含 \(f(x)\) 所有根的最小域）。那么，\(K/F\) 的伽罗瓦群 \(\text{Gal}(K/F)\) 定义为所有满足 \(\sigma(a) = a\) 对一切 \(a \in F\) 都成立的域自同构 \(\sigma: K \to K\) 所构成的群。

第五步：伽罗瓦理论的基本定理
伽罗瓦的天才之处在于他发现了伽罗瓦群的结构与方程的根式可解性之间存在深刻的对应关系。这就是伽罗瓦理论的核心——伽罗瓦对应。

这个对应建立了两个集合之间的一一对应关系：

中间域的集合：满足 \(F \subseteq L \subseteq K\) 的所有域 \(L\)。
子群的集合：伽罗瓦群 \(G = \text{Gal}(K/F)\) 的所有子群 \(H\)。

这个对应由以下方式给出：

从一个子群 \(H \subseteq G\) 出发，可以对应到一个中间域 \(L = K^H = \{ x \in K \mid \sigma(x) = x, \, \forall \sigma \in H \}\)。这个域 \(K^H\) 被称为 \(H\) 的固定域。
从一个中间域 \(L\) （\(F \subseteq L \subseteq K\)）出发，可以对应到一个子群 \(H = \text{Gal}(K/L) = \{ \sigma \in G \mid \sigma(x) = x, \, \forall x \in L \}\)。

这个对应是反包含的：如果 \(H_1 \subseteq H_2\) 是子群，那么它们的固定域满足 \(K^{H_2} \subseteq K^{H_1}\)。如果 \(L_1 \subseteq L_2\) 是中间域，那么它们的伽罗瓦群满足 \(\text{Gal}(K/L_2) \subseteq \text{Gal}(K/L_1)\)。

第六步：应用——五次方程无根式解
一个多项式方程是根式可解的，如果它的根可以通过对系数进行有限次的加、减、乘、除以及开方运算表示出来。

伽罗瓦理论给出了方程根式可解的一个完美判别准则：一个多项式方程 \(f(x)=0\) 在域 \(F\) 上根式可解，当且仅当它的伽罗瓦群 \(G\) 是一个可解群。

可解群是群论中的一个概念，粗略地说，就是可以通过一系列“交换”的子群（正规子群）从群 \(G\) 逐步“分解”到只包含单位元的群。

对于一般的五次方程，其伽罗瓦群是整个五次对称群 \(S_5\)。而数学家已经证明，对称群 \(S_5\) 不是可解群。因此，由伽罗瓦理论立即可得结论：一般的五次及五次以上的代数方程没有根式解。这个结论彻底解决了困扰数学家数百年的问题。

伽罗瓦群我们先从方程求根的基本问题开始。假设我们有一个多项式方程，比如二次方程 \(x^2 - 2 = 0\)。它的根是 \(\sqrt{2}\) 和 \(-\sqrt{2}\)。现在考虑所有由有理数 \(\mathbb{Q}\) 和这两个根通过加、减、乘、除（分母不为零）所能构造出的所有数的集合。这个集合被称为该多项式在 \(\mathbb{Q}\) 上的分裂域，记作 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2}, -\sqrt{2}) = \mathbb{Q}(\sqrt{2})\)。在这个域中，我们的多项式可以“分裂”成一次因式的乘积：\(x^2 - 2 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})\)。第一步：域自同构的概念现在，我们观察这个分裂域 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)。它里面的数都具有 \(a + b\sqrt{2}\) 的形式，其中 \(a, b \in \mathbb{Q}\)。我们考虑一种特殊的函数，它能够将整个域 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) 映射到自身，并且保持域的结构不变。这种函数被称为域自同构。具体来说，一个域自同构 \(\sigma: \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \to \mathbb{Q}(\sqrt{2})\) 必须满足以下条件： \(\sigma(x+y) = \sigma(x) + \sigma(y)\) （保持加法） \(\sigma(xy) = \sigma(x)\sigma(y)\) （保持乘法） \(\sigma\) 是一个双射（一一对应且映满）最关键的一点是，由于自同构保持有理数域 \(\mathbb{Q}\) 上的运算，并且 \(\mathbb{Q}\) 本身没有非平凡的对称性（每个有理数必须映射到自身），所以对于任意有理数 \(q \in \mathbb{Q}\)，我们有 \(\sigma(q) = q\)。也就是说，自同构固定了基域 \(\mathbb{Q}\) 中的每一个元素。第二步：寻找具体的自同构那么，对于域 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)，这样的自同构有哪些呢？恒等自同构：\(\sigma_ 1(a + b\sqrt{2}) = a + b\sqrt{2}\)。这显然满足条件。我们需要寻找非平凡的。考虑一个映射 \(\sigma_ 2\)，它将 \(\sqrt{2}\) 映射为 \(-\sqrt{2}\)，即 \(\sigma_ 2(a + b\sqrt{2}) = a - b\sqrt{2}\)。我们来验证它是否是自同构： \(\sigma_ 2((a+b\sqrt{2}) + (c+d\sqrt{2})) = \sigma_ 2((a+c) + (b+d)\sqrt{2}) = (a+c) - (b+d)\sqrt{2}\) \(\sigma_ 2(a+b\sqrt{2}) + \sigma_ 2(c+d\sqrt{2}) = (a - b\sqrt{2}) + (c - d\sqrt{2}) = (a+c) - (b+d)\sqrt{2}\)。加法保持。 \(\sigma_ 2((a+b\sqrt{2}) * (c+d\sqrt{2})) = \sigma_ 2(ac + 2bd + (ad+bc)\sqrt{2}) = ac + 2bd - (ad+bc)\sqrt{2}\) \(\sigma_ 2(a+b\sqrt{2}) * \sigma_ 2(c+d\sqrt{2}) = (a - b\sqrt{2}) * (c - d\sqrt{2}) = ac - ad\sqrt{2} - bc\sqrt{2} + 2bd = ac + 2bd - (ad+bc)\sqrt{2}\)。乘法保持。可以证明它也是双射。因此，\(\sigma_ 2\) 确实是一个域自同构。那么还有没有其他自同构呢？可以证明，对于 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)，只有这两个自同构：\(\sigma_ 1\) 和 \(\sigma_ 2\)。第三步：伽罗瓦群的定义现在，我们有了一个自同构的集合 \(\{\sigma_ 1, \sigma_ 2\}\)。这个集合有一个非常好的代数结构：它关于映射的复合运算构成一个群。封闭性：\(\sigma_ 2 \circ \sigma_ 2 (a+b\sqrt{2}) = \sigma_ 2(a - b\sqrt{2}) = a + b\sqrt{2} = \sigma_ 1(a+b\sqrt{2})\)。所以复合仍在集合内。结合律：映射复合天然满足结合律。单位元：恒等自同构 \(\sigma_ 1\) 就是单位元。逆元：\(\sigma_ 2\) 的逆元就是它自己，因为 \(\sigma_ 2 \circ \sigma_ 2 = \sigma_ 1\)。这个群（包含两个元素）同构于二阶循环群 \(C_ 2\)。我们就把这个群称为多项式 \(x^2 - 2\)（或者等价地，域扩张 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}\)）的伽罗瓦群，记作 \(\text{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q})\)。第四步：伽罗瓦群的核心思想与推广伽罗瓦群的本质是刻画一个域扩张的对称性。在上面的例子中，扩张 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q})\) 的对称性体现在：我们可以“交换” \(\sqrt{2}\) 和 \(-\sqrt{2}\) 这两个根，而整个数域的结构保持不变。伽罗瓦群就是所有这些保持基域不变的对称性（自同构）的集合。更一般地，对于一个域 \(F\) 和一个多项式 \(f(x) \in F[ x ]\)，设 \(K\) 是 \(f(x)\) 在 \(F\) 上的分裂域（包含 \(f(x)\) 所有根的最小域）。那么，\(K/F\) 的伽罗瓦群 \(\text{Gal}(K/F)\) 定义为所有满足 \(\sigma(a) = a\) 对一切 \(a \in F\) 都成立的域自同构 \(\sigma: K \to K\) 所构成的群。第五步：伽罗瓦理论的基本定理伽罗瓦的天才之处在于他发现了伽罗瓦群的结构与方程的根式可解性之间存在深刻的对应关系。这就是伽罗瓦理论的核心 —— 伽罗瓦对应。这个对应建立了两个集合之间的一一对应关系：中间域的集合：满足 \(F \subseteq L \subseteq K\) 的所有域 \(L\)。子群的集合：伽罗瓦群 \(G = \text{Gal}(K/F)\) 的所有子群 \(H\)。这个对应由以下方式给出：从一个子群 \(H \subseteq G\) 出发，可以对应到一个中间域 \(L = K^H = \{ x \in K \mid \sigma(x) = x, \, \forall \sigma \in H \}\)。这个域 \(K^H\) 被称为 \(H\) 的固定域。从一个中间域 \(L\) （\(F \subseteq L \subseteq K\)）出发，可以对应到一个子群 \(H = \text{Gal}(K/L) = \{ \sigma \in G \mid \sigma(x) = x, \, \forall x \in L \}\)。这个对应是反包含的：如果 \(H_ 1 \subseteq H_ 2\) 是子群，那么它们的固定域满足 \(K^{H_ 2} \subseteq K^{H_ 1}\)。如果 \(L_ 1 \subseteq L_ 2\) 是中间域，那么它们的伽罗瓦群满足 \(\text{Gal}(K/L_ 2) \subseteq \text{Gal}(K/L_ 1)\)。第六步：应用——五次方程无根式解一个多项式方程是根式可解的，如果它的根可以通过对系数进行有限次的加、减、乘、除以及开方运算表示出来。伽罗瓦理论给出了方程根式可解的一个完美判别准则：一个多项式方程 \(f(x)=0\) 在域 \(F\) 上根式可解，当且仅当它的伽罗瓦群 \(G\) 是一个可解群。可解群是群论中的一个概念，粗略地说，就是可以通过一系列“交换”的子群（正规子群）从群 \(G\) 逐步“分解”到只包含单位元的群。对于一般的五次方程，其伽罗瓦群是整个五次对称群 \(S_ 5\)。而数学家已经证明，对称群 \(S_ 5\) 不是可解群。因此，由伽罗瓦理论立即可得结论：一般的五次及五次以上的代数方程没有根式解。这个结论彻底解决了困扰数学家数百年的问题。