遍历理论中的可压缩变换 可压缩变换是遍历理论中一类特殊的保测变换，其定义基于变换对测度的局部缩放行为。与保测变换处处保持测度不同，可压缩变换允许测度在局部被压缩或扩张，但整体上保持某种不变性。 1. 基本定义 设 \( (X, \mathcal{B}, \mu) \) 是一个概率空间。一个可测变换 \( T: X \to X \) 称为可压缩变换，如果存在一个正可测函数 \( \rho: X \to \mathbb{R}^+ \)（称为压缩因子或密度函数），使得对于所有可测集 \( A \in \mathcal{B} \)，满足： \[ \mu(T^{-1}A) = \int_ A \rho(x) \, d\mu(x). \] 这意味着变换 \( T \) 将原测度 \( \mu \) 推前为绝对连续于 \( \mu \) 的测度，且其拉东-尼科迪姆导数为 \( \rho \)。若 \( \rho \equiv 1 \)，则 \( T \) 是保测变换。 2. 佩龙-弗罗贝尼乌斯算子 可压缩变换的遍历性分析常通过佩龙-弗罗贝尼乌斯算子实现。该算子 \( P: L^1(\mu) \to L^1(\mu) \) 定义为： \[ (Pf)(x) = \sum_ {y \in T^{-1}\{x\}} \frac{f(y)}{\rho(y)}, \] 其中 \( \rho \) 是压缩因子。此算子的对偶作用保持 \( L^1 \) 范数，且若 \( \mu \) 是 \( T \)-不变概率测度（即 \( \mu(T^{-1}A) = \mu(A) \)），则 \( P \) 的固定点对应系统的稳态密度。 3. 遍历性与混合性 可压缩变换的遍历性定义为：若 \( T^{-1}A = A \) 且 \( \mu(A) > 0 \)，则 \( \mu(A) = 1 \)。混合性则通过压缩因子修正的关联函数来刻画。例如，若对任意可测函数 \( f, g \in L^2(\mu) \)，有： \[ \lim_ {n \to \infty} \int_ X f(T^n x) g(x) \rho^{(n)}(x) \, d\mu(x) = \int_ X f \, d\mu \int_ X g \, d\mu, \] 其中 \( \rho^{(n)}(x) = \prod_ {k=0}^{n-1} \rho(T^k x) \)，则称 \( T \) 是混合的。这反映了在加权意义下，状态随时间的演化趋于独立。 4. 熵与可压缩性 对于可压缩变换，科尔莫戈罗夫-西奈熵需修正以反映测度的局部缩放。定义可压缩熵为： \[ h_ \mu(T) = \sup \left\{ \lim_ {n \to \infty} \frac{1}{n} H\left( \bigvee_ {i=0}^{n-1} T^{-i} \xi \right) - \int_ X \log \rho \, d\mu \right\}, \] 其中上确界取遍所有有限划分 \( \xi \)，\( H \) 为香农熵。此项修正体现了压缩因子对动态复杂性的贡献。 5. 应用与例子 可压缩变换常见于非保守动力系统，如带有耗散的混沌系统（如洛伦兹吸引子）或随机过程的环境演化。例如，在随机矩阵乘积中，若转移概率随状态变化，对应的移位映射可建模为可压缩变换，其压缩因子由矩阵的奇异值决定。这类系统通过可压缩框架研究其统计规律（如大偏差原理）和稳态分布的存在性。