随机变量的变换的Panjer递归 Panjer递归是一种高效计算特定类型复合分布概率质量函数的递推算法，尤其适用于索赔次数分布属于（a, b, 0）分布族且索赔金额分布为离散非负整数值的保险风险模型。 问题背景：复合分布 在风险建模中，总损失 S 常建模为复合随机变量：S = X₁ + X₂ + ... + X_ N，其中 N 是表示索赔次数的随机变量（如泊松、二项、负二项分布），{X_ i} 是独立同分布的非负随机变量，表示单个索赔金额，且与 N 独立。直接计算 S 的概率质量函数 P(S = s) 需要卷积，计算复杂度高。Panjer递归提供了更高效的递推解法。 核心前提：(a, b, 0) 分布族 Panjer递归要求索赔次数 N 的分布属于 (a, b, 0) 分布族。该族分布满足递推关系：P(N = k) / P(N = k-1) = a + b/k，对于 k ≥ 1。 常见成员： 泊松分布 (λ): a = 0, b = λ。P(N=k)/P(N=k-1) = λ/k。 二项分布 (n, p): a = -p/(1-p), b = (n+1)p/(1-p)。P(N=k)/P(N=k-1) = (n-k+1)p/(k(1-p))。 负二项分布 (r, p): a = 1-p, b = (r-1)(1-p)。P(N=k)/P(N=k-1) = (k+r-1)(1-p)/k。 Panjer递归公式 假设索赔金额 X 是取非负整数值的离散随机变量，其概率质量函数为 f_ x(m) = P(X = m)，m = 1, 2, ... M (M 可为无穷)。总损失 S 的概率质量函数 g(s) = P(S = s) 可通过以下递推公式计算： 初始值 : g(0) = P(N=0) （若 N=0，则 S=0）。 递推公式 (s ≥ 1) : g(s) = [ 1 / (1 - a * f_ x(0))] * Σ_ {m=1}^{min(s, M)} [ a + (b * m) / s] * f_ x(m) * g(s - m) 其中，求和从 m=1 到 min(s, M)，因为索赔金额至少为1（若允许为0，公式需调整）。 算法步骤 a. 确定 N 的 (a, b) 参数和 g(0) = P(N=0)。 b. 确定索赔金额分布 f_ x(m) 对于 m = 1, 2, ..., M。 c. 对于 s = 1, 2, ... 直至所需的最大损失值： * 计算求和项 Σ_ {m=1}^{min(s, M)} [ a + (b m)/s] f_ x(m) * g(s-m)。 * 计算 g(s) = 求和结果 / (1 - a * f_ x(0))。 d. 得到序列 {g(0), g(1), g(2), ...} 即为总损失 S 的概率质量函数。 应用与注意事项 Panjer递归极大降低了计算复合分布概率的计算复杂度，从 O(n²) 降至 O(n)，广泛应用于保险精算、操作风险管理等领域。使用时需注意： 索赔金额 X 必须为离散非负整数值。若 X 连续，需先离散化。 递归稳定性受参数影响，特别是当 a * f_ x(0) 接近 1 时，分母可能引发数值问题。 算法假设索赔次数分布属于 (a, b, 0) 族，不适用于其他分布。