圆的切线长定理 我们从圆的切线长定理开始。圆的切线长定理指出：从圆外一点向圆引两条切线，这两条切线的长度相等。这个定理是平面几何中关于圆的基本定理之一，它揭示了圆外一点与圆之间的一种对称关系。 为了理解这个定理，我们首先需要明确几个基本概念。一条直线与圆相切，意味着这条直线与圆有且仅有一个公共点，这个点称为切点。从圆外一点P向圆O引切线，设切点分别为A和B。那么，线段PA和线段PB的长度，就称为从点P到圆O的切线长。切线长定理的结论就是PA = PB。 接下来，我们来证明这个定理。证明过程非常直观，它依赖于直角三角形的全等判定。连接点P与圆心O，形成线段PO。再连接切点A与圆心O，以及切点B与圆心O。因为PA和PB是切线，所以OA垂直于PA，OB垂直于PB（圆的切线垂直于过切点的半径）。因此，三角形PAO和三角形PBO都是直角三角形。 在这两个直角三角形中，我们有： 公共斜边PO。 两条直角边OA和OB相等，因为它们都是圆O的半径。 根据直角三角形全等的判定定理（HL定理），直角三角形PAO全等于直角三角形PBO。因此，它们的对应边PA就等于PB。这就证明了切线长定理。 切线长定理有一个重要的推论：连接圆外一点和圆心的直线，平分这点与两个切点所构成的两条切线的夹角（即∠APO = ∠BPO），并且也平分这两个切点与圆心所构成的圆心角（即∠AOB的平分线也是PO）。这个推论在解决一些几何问题时非常有用。 切线长定理的应用非常广泛。例如，它可以用来计算未知的切线长、线段长或者角度。在更复杂的几何构型中，比如与两个圆都相切的公切线问题，切线长定理也常常是解决问题的关键步骤之一。它体现了圆的一种基本对称性，是连接圆外点与圆的重要几何桥梁。