模的不可约模与半单模 我们先从 模的基本概念 出发：若 \( R \) 是一个环（可结合、含单位元），一个 左 \( R \)-模 \( M \) 是一个交换群（加法运算），配备一个数乘映射 \( R \times M \to M \)，满足分配律、结合律等公理（例如 \( r(m+n) = rm + rn \)，\( (r+s)m = rm + sm \) 等）。 1. 子模与商模 若 \( N \subseteq M \) 是 \( M \) 的子群，且对任意 \( r \in R, n \in N \) 有 \( rn \in N \)，则 \( N \) 称为 \( M \) 的 子模 。 商群 \( M/N \) 可自然赋予 \( R \)-模结构：\( r(m+N) = rm + N \)，称为 商模 。 2. 不可约模（单模） 若 \( M \neq 0 \) 且除了 \( \{0\} \) 和 \( M \) 自身外没有其他子模，则称 \( M \) 为 不可约模 （或 单模 ）。 等价定义：任意非零元 \( m \in M \) 生成的子模 \( Rm = M \)。 例子 ： 若 \( R \) 是域，则 \( R \)-模就是向量空间，不可约模即一维空间。 若 \( R = \mathbb{Z} \)，则不可约模同构于 \( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \)（\( p \) 为素数）。 3. 半单模 若一个模 \( M \) 可以写成若干不可约子模的直和： \[ M = \bigoplus_ {i \in I} S_ i, \quad S_ i \text{ 为不可约模}, \] 则称 \( M \) 为 半单模 （或完全可约模）。 等价刻画 ：以下条件等价： \( M \) 是若干不可约子模的直和。 \( M \) 的每个子模都是直和项（即存在补子模）。 \( M \) 的每个短正合序列 \( 0 \to A \to M \to B \to 0 \) 分裂。 4. 半单环 若环 \( R \) 作为左 \( R \)-模是半单的，则称 \( R \) 为 半单环 。 重要定理（Wedderburn-Artin） ： 半单环（左 Artin 条件）必同构于有限个除环上全矩阵环的直积： \[ R \cong M_ {n_ 1}(D_ 1) \times \cdots \times M_ {n_ r}(D_ r). \] 特别地，若 \( R \) 是代数闭域上的有限维代数，则 \( D_ i \) 均为该域。 5. 不可约模与半单模的关系 半单模的每个子模和商模仍是半单的。 半单模的不可约分解不一定唯一，但不可约分支的同构类（含重数）唯一（由 Jordan-Hölder 定理推广）。 6. 应用：有限群表示 若 \( G \) 是有限群，\( k \) 是特征不整除 \( |G| \) 的域，则 Maschke 定理 说：群代数 \( k[ G ] \) 是半单环。 此时每个 \( k[ G ] \)-模（即 \( G \) 的线性表示）都是半单的，可分解为不可约子表示的直和。 以上步骤从模的基础逐步引入不可约模与半单模的定义、性质及重要定理，最后联系到有限群表示论的应用。