二次型的配方法
字数 2645 2025-11-11 11:38:58

二次型的配方法

我们从二次型的最基本形式开始。一个二次型是指一个齐二次多项式。例如，在变量 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 上的二次型可以写成：

\[Q(x_1, \dots, x_n) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j \]

其中系数 \(a_{ij}\) 来自某个域（如有理数域、实数域等），并且通常要求 \(a_{ij} = a_{ji}\)（对称性）。我们可以将其与一个对称矩阵 \(A\) 联系起来，使得 \(Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}\)，其中 \(\mathbf{x} = (x_1, \dots, x_n)^T\)。

配方法的核心目标是通过一系列变量替换（坐标变换），将二次型化简为仅包含平方项的形式，即：

\[Q = c_1 y_1^2 + c_2 y_2^2 + \dots + c_r y_r^2 \]

其中 \(c_i\) 是常数，\(r\) 是二次型的秩（即矩阵 \(A\) 的秩）。这种形式称为标准形。

步骤一：单个变量的配方

考虑一个简单的例子：\(Q(x, y) = x^2 + 4xy + 3y^2\)。

  1. 首先，关注包含 \(x\) 的项：\(x^2 + 4xy\)。
  2. 我们的目标是将其写成一个完全平方。注意到 \((x + 2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2\)。
  3. 因此，我们可以将原二次型改写为：

\[ Q(x, y) = (x^2 + 4xy + 4y^2) + 3y^2 - 4y^2 = (x + 2y)^2 - y^2 \]

  1. 现在，我们引入新变量 \(y_1 = x + 2y\) 和 \(y_2 = y\)。那么二次型就化为了标准形：\(Q = y_1^2 - y_2^2\)。

这个过程就是“配方”：我们通过添加和减去一个合适的常数（这里是 \(4y^2 - 4y^2\)），将混合项 \(4xy\) “吸收”进一个平方项里。

步骤二：多个变量的系统化配方

对于更一般的二次型，我们需要一个系统化的步骤。考虑 \(Q(x, y, z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 + 4xy + 6xz + 8yz\)。

  1. 集中一个变量：首先，将所有包含 \(x\) 的项集中起来：
    \(x^2 + 4xy + 6xz\)
  2. 配方：将其视为 \(x\) 的二次三项式，对 \(x\) 进行配方。

\[ x^2 + 4xy + 6xz = x^2 + 2x(2y + 3z) \]

配方后得到：\([x + (2y+3z)]^2 - (2y+3z)^2\)
3. 代入并展开：将配方结果代回原二次型：

\[ Q = [x + 2y + 3z]^2 - (4y^2 + 12yz + 9z^2) + 2y^2 + 3z^2 + 8yz \]

\[ Q = [x + 2y + 3z]^2 - 2y^2 - 4yz - 6z^2 \]

现在，二次型中不再有包含 \(x\) 的混合项了。
4. 重复过程：对剩下的变量 \(y\) 和 \(z\) 构成的二次型 \(Q‘ = -2y^2 - 4yz - 6z^2\) 重复上述过程。
a. 集中包含 \(y\) 的项：\(-2y^2 - 4yz = -2(y^2 + 2yz)\)
b. 对 \(y\) 配方：\(y^2 + 2yz = (y+z)^2 - z^2\)
c. 代入：\(Q’ = -2[(y+z)^2 - z^2] - 6z^2 = -2(y+z)^2 + 2z^2 - 6z^2 = -2(y+z)^2 - 4z^2\)
5. 得到标准形：将第二步的结果代回第一步的 \(Q\) 中：

\[ Q = [x + 2y + 3z]^2 - 2(y+z)^2 - 4z^2 \]

  1. 变量替换：令 \(u = x + 2y + 3z\), \(v = y + z\), \(w = z\)。这是一个可逆的线性变换（因为其系数矩阵是满秩的）。最终得到标准形：

\[ Q(u, v, w) = u^2 - 2v^2 - 4w^2 \]

步骤三：与矩阵合同变换的联系

上述代数过程对应于矩阵论中的“合同变换”。二次型 \(Q = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}\) 的配方过程，等价于寻找一个可逆矩阵 \(P\)，使得 \(P^T A P\) 是一个对角矩阵 \(D\)。新的变量 \(\mathbf{y}\) 由 \(\mathbf{x} = P\mathbf{y}\) 定义，那么 \(Q = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} = (P\mathbf{y})^T A (P\mathbf{y}) = \mathbf{y}^T (P^T A P) \mathbf{y} = \mathbf{y}^T D \mathbf{y}\)，这就是标准形。

我们例子中的变量替换 \(\mathbf{x} = P\mathbf{y}\) 为：

\[\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u \\ v \\ w \end{bmatrix} \]

可以验证，\(P^T A P\) 确实是对角矩阵 \(\operatorname{diag}(1, -2, -4)\)。

步骤四：惯性定理与实二次型的分类

在实数域上，配方法可以进一步简化。通过另一个缩放性的变量替换（例如，令 \(u‘ = u, v’ = \sqrt{2}v, w‘ = 2w\)），我们可以将标准形中的系数化为 \(1\) 或 \(-1\)。这就是“规范形”。西尔维斯特惯性定理指出，在实二次型的规范形 \(y_1^2 + \dots + y_p^2 - y_{p+1}^2 - \dots - y_r^2\) 中，正平方项的个数 \(p\) 和负平方项的个数 \(r-p\) 是固定不变的，由二次型本身决定，与配方过程无关。这对二次型的定性分析（如正定、负定）至关重要。

二次型的配方法 我们从二次型的最基本形式开始。一个二次型是指一个齐二次多项式。例如，在变量 \(x_ 1, x_ 2, \dots, x_ n\) 上的二次型可以写成： \[ Q(x_ 1, \dots, x_ n) = \sum_ {i=1}^n \sum_ {j=1}^n a_ {ij} x_ i x_ j \] 其中系数 \(a_ {ij}\) 来自某个域（如有理数域、实数域等），并且通常要求 \(a_ {ij} = a_ {ji}\)（对称性）。我们可以将其与一个对称矩阵 \(A\) 联系起来，使得 \(Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}\)，其中 \(\mathbf{x} = (x_ 1, \dots, x_ n)^T\)。 配方法的核心目标是通过一系列变量替换（坐标变换），将二次型化简为仅包含平方项的形式，即： \[ Q = c_ 1 y_ 1^2 + c_ 2 y_ 2^2 + \dots + c_ r y_ r^2 \] 其中 \(c_ i\) 是常数，\(r\) 是二次型的秩（即矩阵 \(A\) 的秩）。这种形式称为标准形。 步骤一：单个变量的配方 考虑一个简单的例子：\(Q(x, y) = x^2 + 4xy + 3y^2\)。 首先，关注包含 \(x\) 的项：\(x^2 + 4xy\)。 我们的目标是将其写成一个完全平方。注意到 \((x + 2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2\)。 因此，我们可以将原二次型改写为： \[ Q(x, y) = (x^2 + 4xy + 4y^2) + 3y^2 - 4y^2 = (x + 2y)^2 - y^2 \] 现在，我们引入新变量 \(y_ 1 = x + 2y\) 和 \(y_ 2 = y\)。那么二次型就化为了标准形：\(Q = y_ 1^2 - y_ 2^2\)。 这个过程就是“配方”：我们通过添加和减去一个合适的常数（这里是 \(4y^2 - 4y^2\)），将混合项 \(4xy\) “吸收”进一个平方项里。 步骤二：多个变量的系统化配方 对于更一般的二次型，我们需要一个系统化的步骤。考虑 \(Q(x, y, z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 + 4xy + 6xz + 8yz\)。 集中一个变量 ：首先，将所有包含 \(x\) 的项集中起来： \(x^2 + 4xy + 6xz\) 配方 ：将其视为 \(x\) 的二次三项式，对 \(x\) 进行配方。 \[ x^2 + 4xy + 6xz = x^2 + 2x(2y + 3z) \] 配方后得到：\([ x + (2y+3z) ]^2 - (2y+3z)^2\) 代入并展开 ：将配方结果代回原二次型： \[ Q = [ x + 2y + 3z ]^2 - (4y^2 + 12yz + 9z^2) + 2y^2 + 3z^2 + 8yz \] \[ Q = [ x + 2y + 3z ]^2 - 2y^2 - 4yz - 6z^2 \] 现在，二次型中不再有包含 \(x\) 的混合项了。 重复过程 ：对剩下的变量 \(y\) 和 \(z\) 构成的二次型 \(Q‘ = -2y^2 - 4yz - 6z^2\) 重复上述过程。 a. 集中包含 \(y\) 的项：\(-2y^2 - 4yz = -2(y^2 + 2yz)\) b. 对 \(y\) 配方：\(y^2 + 2yz = (y+z)^2 - z^2\) c. 代入：\(Q’ = -2[ (y+z)^2 - z^2 ] - 6z^2 = -2(y+z)^2 + 2z^2 - 6z^2 = -2(y+z)^2 - 4z^2\) 得到标准形 ：将第二步的结果代回第一步的 \(Q\) 中： \[ Q = [ x + 2y + 3z ]^2 - 2(y+z)^2 - 4z^2 \] 变量替换 ：令 \(u = x + 2y + 3z\), \(v = y + z\), \(w = z\)。这是一个可逆的线性变换（因为其系数矩阵是满秩的）。最终得到标准形： \[ Q(u, v, w) = u^2 - 2v^2 - 4w^2 \] 步骤三：与矩阵合同变换的联系 上述代数过程对应于矩阵论中的“合同变换”。二次型 \(Q = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}\) 的配方过程，等价于寻找一个可逆矩阵 \(P\)，使得 \(P^T A P\) 是一个对角矩阵 \(D\)。新的变量 \(\mathbf{y}\) 由 \(\mathbf{x} = P\mathbf{y}\) 定义，那么 \(Q = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} = (P\mathbf{y})^T A (P\mathbf{y}) = \mathbf{y}^T (P^T A P) \mathbf{y} = \mathbf{y}^T D \mathbf{y}\)，这就是标准形。 我们例子中的变量替换 \(\mathbf{x} = P\mathbf{y}\) 为： \[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u \\ v \\ w \end{bmatrix} \] 可以验证，\(P^T A P\) 确实是对角矩阵 \(\operatorname{diag}(1, -2, -4)\)。 步骤四：惯性定理与实二次型的分类 在实数域上，配方法可以进一步简化。通过另一个缩放性的变量替换（例如，令 \(u‘ = u, v’ = \sqrt{2}v, w‘ = 2w\)），我们可以将标准形中的系数化为 \(1\) 或 \(-1\)。这就是“规范形”。西尔维斯特惯性定理指出，在实二次型的规范形 \(y_ 1^2 + \dots + y_ p^2 - y_ {p+1}^2 - \dots - y_ r^2\) 中，正平方项的个数 \(p\) 和负平方项的个数 \(r-p\) 是固定不变的，由二次型本身决定，与配方过程无关。这对二次型的定性分析（如正定、负定）至关重要。